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1、基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统，经常作为研究比较不同控制方法的典型 例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引 入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有 大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随 机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制 方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进 行仿真。三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由
2、轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对 垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定 的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动 直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平 衡。四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：-阶倒立摆工业控制计算机1PCDA0:罢角I/腿卿/同步带ADCTC讎粽电位器分析工作原埋，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图:工业控制计算机电动机驱动器 一阶倒立摆一阶倒立摆控制系统动态结构图F面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数!1_阶倒立摆
3、建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示,其中：M：小车质量m：为摆杆质量J：为摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置0：摆杆与垂直向上方向的夹角l :摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知:(1) 摆杆绕其重心的转动方程为J 0 二 Fl sin 0-Fl cos 0(1)yx、丿(2) 摆杆重心的运动方程为(x +1 sin 0)(l cos 0) d 2td 2=m -xd 2t(3) 小车水平方向上的运动为d 2 xF - F = M - x d 2t联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：m2l
4、2 cos2 9 -(M + mG + ml2)F + ml G + ml2 )sin 99 2 一 m2l2 g sin 9 cos 9G + ml 2 )(M + m )- m 2/2 cos2 9& ml cos9 .F + m212 sin 9 cos9.92 9 =+ m )m lg sin 9 ml 2)式中J为摆杆的转动惯量：J=畤若只考虑e在其工作点附近e =0附近(-10。9 10。)的细微变化，则可0以近似认为:9 2沁0 sin 9 cos 9 1(J + ml 2) F 一 m 212 g9 x =J (M + m) + Mml 2 (M + m)m lg9 一 mlF
5、9 =J (M + m) + Mml 2若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=lkg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g二10m/s2,则可以得一阶倒立摆简化模型:x = 0.44 F 一 3.339V9 =-0.4 F +129拉氏变换9 (s) = -0.4 F (s) = s 2 -12x( s ) -1.1s 2 + 10-0.4Gi(s)二-一阶倒立摆环节问题解决!2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下:驱动电压：U=0100V额定功率：PN=200W额定转速：n=3000r/min转动惯量：J=3X10-6kg.m2额定转矩：TN=0
6、.64Nm最大转矩：TM=1.91Nm电磁时间常数：Tl=0.001s电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=016N ；与其配套的驱动器为： MSDA021A1A，控制电压:UDA=010V。若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦，就可以认为驱动器和机械传动装置 均为纯比例环节，并假设这两个环节的增益分别为Kd和Km。KvT Ts2 + T s +1mlmG(s) = K K K = Kd v m.K = max = 1.6s U 10max即 D3(s)=1.6电动机驱动器部分问题解决!3双闭环PID控制器设计剩下的问题就是如何确定控制器D (S).；D和D (SD
7、(S)的结构和参数。(一)内环控制器的设计反馈校正控制的系统内环框图其中，Ks=1.6为伺服电动机与减速机构的等效模型1.控制器的选择内环系统未校正时的传递函数为士包=F (s)s 2 -12对于内环反馈控制器D2(s)可有PD, PI, PID三种可能的结构形式，怎么选 取呢？这里，不妨采用绘制各种控制器结构下“系统根轨迹”的办法加以分析比 较，从之选出一种比较适合的控制器结构。各种控制器的开环传函的传递函数分别为：-6.4 KP:ps 2 -12-6.4K s - 6.4KPD:dps 2 -12-6.4K s - 6.4KPI:p1-s(s2 -12)-6.4K s2 - 6.4K s
8、- 6.4KPID:pp厶s(s2 - 12)在MATLAB下输入以下程序用“凑试”的方法画根轨迹图：num=分子;den=分母;xlabel(Real Axis);ylabel(Imag Axis);axis(横、纵坐标范围);title(Root Locus);grid;rlocus(num,den)下图为各种控制器下的系统根轨迹。Root Locus-25-20-15-10-50Real Axis101520Shya) PDb) PDRoot LocusPID的根轨迹图5Root Locus0Real AxisN O.24 u.-O.-O.AJBUCTBUJ-1015.2AJeuCTel
9、u-O.24.6.8-20246Real Axis(c) PId) PID从根轨迹不难发现，采用PD结构的反馈控制器，结构简单且可保证闭环系 统的稳定。所以，选定反馈控制器的结构为PD形式的控制器。2.控制器参数的选定首先暂定K=-20。这样可以求出内环的传递函数为：-04 ()-201血W KKG2(s)=R221+KKG2(SD2(s)l-20xl.6 乜4 心+心12.8s2 +12.Kd2S+12.-12K = 1.94p2n D= 0.3$+1.94K = 0.392d 2W2 = 12.8K -12=12.8np2解得:2 W = 12.8K = 2x0.707心128nd 2系统
10、内环传递函数为：(s)二212.8s2 + 5s+12.8注释：工程上常用阻尼比g =0.707作为二阶系统最优解!3系统内环的simulink仿真及结果崔总幽I *囿令:山0%n xD启O昌？爲屉翕 01 formal千IFile Edit View Simulation Format Tools Help12.8I.i+E-s+IZ.BCommand Window仿真结果为:1.4111I : :7*1*_.-7Z 111111111111111111 1Step Response2P-1七O.LUVProprty EditorLabels Limits Units Style Chara
11、cter!rGha racteristicsShow settling time withinShow rise time from（二）外环控制器的设计12.8-1.1S2 +10 12.8H.1s2 +10)W (s)G (s) =x=21s2 + 5s+12.8s2s2(s2 + 5s+12.8)可见，系统开环传递函数可视为一个高阶（4阶）且带有不稳定零点的“非 最小相位系统”为了便于设计，需要首先对系统进行一些简化处理（否则，不 便利用经典控制理论与方法对它进行设计）。1 系统外环模型的降阶 （1）对内环等效闭环传递函数的近似处理(1)s 2 + 5s +12.812.8将高次项s2忽
12、略，有W(、12.81(2)W (s)沁=(2)25s +12.80.39s +1近似条件可由频率特性导出，即气(=12.8(jto)2 + 5( jto) +12.812.由（2）得:12.85 j +12.8 2 空c 10即： 1. 13c（2）对象模型G1（s）的近似处理1G1( s )-1.1s 2 + 10s 210沁s 2由（3）得:q(j)=-1.1( j )2 + 1010 + 1.1 2- 2由（4）得:10 101.10 2 10c 10，所以，有o 0.95c2 .控制器设计图5-33闭环系统结构图设加入的调节器为Di（s）=K&+D ,同时，为使系统有较好的跟随性能，采用单位反馈（D；（s） = K = 1）来构成外环反馈通道，如图所示:W(s) = D (s)W (s)G (s)=1 2 125.64s 2( s + 2.564)K (t s +1)p取 o = 0.9c5二1.95 取t2. 5 64W (s)=而P Kp(s + I再由“典型II型”系统Bode图特性（K = oo ）知：1 c20K 二 1x0.9K 二0. 045pp3 .用simulink对小车的位置在阶跃信号输入下的响应进行仿真:系统框图为StepD.D9S+D.斗吕1rTransfer FenS QZ- C-E-仿真结果:倒立摆位置在阶跃信号下的响应
