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1、大学高等数学知识点整理公式,用法合集极限与连续一. 数列函数:1. 类型: 数列: *;* 初等函数: 分段函数: *; *;* 复合函数: 隐式: 参式: 变限积分函数: 级数和函数: 2. 特征:单调性与有界性; 奇偶性与周期性. 3. 反函数与直接函数: 二. 极限性质: 1. 类型: *;*;* 2. 无穷小与无穷大:3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , , ,四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时,; ; 2. 泰勒公式:; ; ;.五. 常规方法: 前提: 准确判断; 变量代换 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量
2、乘积 3. 处理 4. 左右极限:; ; 分段函数: , , 5. 无穷小等价替换 6. 洛必达法则先处理,后法则; 幂指型处理: 含变限积分; 不能用与不便用 7. 泰勒公式: 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: 六. 非常手段 1. 收敛准则: 双边夹: *, * 单边挤: * * *2. 导数定义: 3. 积分和:, 4. 中值定理: 5. 级数和: 收敛, ,与同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较: * 2. 渐近线: , 3. 连续性: 间断点判别; 分段函数连续性八. 上连续函数性质 1. 连通性: 2. 介值定理: 零点存在定理: ; .第二讲:导数及应用一. 基本概念:1
3、. 差商与导数:; 左右导: ;可导与连续; 2. 微分与导数: 可微可导; 比较与的大小比较;二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; 2. 法则: 四则运算; 复合法则; 反函数三. 各类求导: 1. 定义导: 与; 分段函数左右导; 2. 初等导: , 求:;, 求: ,求及 3. 隐式导:存在定理; 微分法. 对数求导法. 4. 参式导: ,求: 5. 高阶导公式:; ; 注: 与泰勒展式: 四. 各类应用:1. 斜率与切线; 2. 物理: 变化率速度; 3. 曲率: 4. 边际与弹性: 五. 单调性与极值1. 判别: ; ; 分段函数的单调性 零点唯一; 驻点唯一. 2. 极值
4、点: 表格; 二阶导 注与的匹配; 实例: 由确定点的特点. 闭域上最值3. 不等式证明 区别: *单变量与双变量? *与? 类型: *; * *; * 注意: 单调性端点值极值凹凸性. 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点:1. 表格; 2. 应用: 泰勒估计; 单调; 凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: 1. 结论: 2. 辅助函数构造实例: ;3. 有个零点有个零点 4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点 5. 注: 含时,分家! 6. 附: 在可导,使:八. 拉格朗日中值定理 1. 结论: ; 2. 估计: 九. 泰勒公式1. 结论: ; 2. 应用:在已知或值时进行积分估
5、计十. 积分中值定理: 注:有定积分条件时使用第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数: ; ; 注; 2. 不定积分性质:; ;二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆 3. 凑微法: 要求巧,简,活如: 4. 变量代换:常用: 作用与引伸: 5. 分部积分:含需求导的被积函数; 反对幂三指: 特别: 6. 特例: ; 快速法; 三. 定积分: 1. 概念性质: 积分和式 几何意义 *; * 附: , 定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理 可积连续, 连续可导 ; ; 由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分问题3. 公式:
6、注: 分段积分, 对称性, 周期性 有理式,三角式,根式 含的方程.4. 变量代换:, , ; , ,5. 分部积分 准备时凑常数已知或时, 求 6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分: 1. 类型: : 2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限 4. 特例: ; 五. 应用: 1. 面积, ; ; 侧面积: 2. 体积: ; 与 3. 弧长: : 4. 物理功,引力,水压力,质心,5. 平均值: ; , 第四讲: 微分方程一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解 2. 变换方程: 令 令3. 建立方程的能力二. 一阶方程:1. 形式: ; ; 2. 变量分离型: 解法:
7、 偏微分方程: ; 3. 一阶线性: 解法: 变化: ; 推广: 伯努利 4. 齐次方程: 解法: 特例: 5. 全微分方程: 且 6. 一阶差分方程: 三. 二阶降阶方程 1. : 2. : 令 3. : 令四. 高阶线性方程: 1. 通解结构: 齐次解: 非齐次特解: 2. 常系数方程: 特征方程与特征根: 非齐次特解形式确定: 待定系数; 由已知解反求方程.3. 欧拉方程: , 令五. 应用: 1. 几何应用; 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程; 可设 3. 导数定义立方程: 含双变量条件的方程 4. 变化率 5. 6. 路径无关得方程: 7. 级数与方程:幂级数求和; 方程
8、的幂级数解法:8. 弹性问题 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续, 注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:2. 特例: : 点处可导不连续; : 点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: 注: 型; ; 含变限积分 2. 复合函数的一,二阶偏导:熟练掌握记号的准确使用 3. 隐函数:形式: *; *微分法: 注: 与的及时代入 会变换方程.三. 二元极值; 1. 二元极值:必要条件; 充分条件 2. 条件极值 目标函数与约束条件: , 求解步骤: , 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值. 实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质: , 对称性:*域轴
