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1、学科：数学教学内容：极限经点答疑（二）例2 用定义证明规范证法 设,对于任意给定的0，要使,只要就可以了因此，对于任意给定的0，取,则当|x|M时，有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号如果x从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大则称x趋于正无穷大，记作x+，此时定义中，|x|M可改写为xM，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x-，此时定义中的|x|M可改写成x0，总存在MO，使当xM时，即可规范证法 设对任意给定的0，要使，只要，即就可以了因此，对于任意给定的10，取,则当xM时，恒成立，所以当x时，f(x)以A为极限的几何意义是：对于任意给定的正数
2、(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线y=A-与y=A+，两直线之间形成一个带形区域不论多么小，即不论带形区域多么狭窄，总可以找到M0，当点(x，f(x)的横坐标x进入区间(-，-M)U(M，+)时，纵坐标f(x)全部落入区间(A-,A+)内此时y=f(x)的图形处于带形区域内越小，则带形区域越狭窄，如图27所示8什么是函数左极限与右极限?前面讲了时函数f(x)的极限，在那里x是以任意方式趋于的但是，有时我们还需要知道x仅从的左侧或仅从的右侧趋于时，f(x)的变化趋势于是，就要引进左极限与右极限的概念例如，函数，图形见图2-8容易观察出，当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当x从0的右
3、侧趋于0时，f(x)趋于0我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限再考察当x趋于0时的极限由于函数的定义域为0，+)因此只能考察其右极限对,由于其定义域为(-，0，因此，当x趋于0时，只能考察其左极限定义：如果当x从的左侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的0，总存在一个正数，使时，恒成立，则称A为时f(x)的左极限.记作或如果当x从的右侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的0，总存在个正数，使当时，|f(x)-A|恒成立，则称A为时f(x)的右极限，记作或根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理例1 设思路启迪 要看当x0时，f(x)的极限是否存在，就应先求出x0时f(x)
4、的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等若相等，则极限存在；反之，则极限不存在规范解法 当x0时，；而当x0时，左、右极限都存在，但不相等所以，由上面的定理可知，不存在例2 研究当x0时，f(x)=|x|的极限思路启迪 因为f(x)=|x|，所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限规范解法 已知，可以证明，所以，由上面的定理得9怎样计算函数的极限?要计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的情形相仿函数极限的四则运算法则：如果那么这些法则对于x时的情况仍然成立由以上法则易得(C是常数)，(n是正整数)利用这些法则求下
5、面几个函数的极限例1 求思路启迪 由于该极限中的每一项都存在极限，所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算规范解法 点评 若极限式各项中，有一项或几项的极限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做例2 求思路启迪 与例1类似规范解法 因为点评 由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当时分母极限不为0的分式函数,根据极限运算法则可以得出例3 求思路启迪 将分子分母同除以,使分子分母的极限存在规范解法 将分子分母同除以,得例4 求思路启迪 将分子有理化,使分子分母极限存在例5 已知求思路启迪 要求,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为其左,右极限
6、值,若不相同,则极限不存在10什么是函数两个重要极限?证明:首先证明如下图2-9, 是以点为心,半径为1的圆弧，过A作圆弧的切线与OB的延长线交于点C设DOB=x(按弧度计算)，则显然，AOB的面积扇形AOB的面积AOC的面积即或sinxx0除之，得或.，(根据夹挤定理，参看后面知识链接部分第4个问题中的方法1)其次，当x0时，设x=-y,当时，有，则例1 求思路启迪 将tanx写成，代回原式，使之出现这个重要极限规范解法例2 求思路启迪 将kx看成一个新变量t，即令t=kx，则x0时，t0规范解法例3 求思路启迪 先将1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊极限规范解法 注意：我们在利用时
7、，一定要注意x的趋向形式，x是趋向于0的，若x是趋向于无穷的或者x是趋向于除0以外的其他值，则该极限等式就不一定成立了下面大家来看另一重要极限我们先讨论x+的情形因xx0,解不等式取,于是，对任意0，总存在(其中0)，当时，有，即正弦函数sinx在连续，因为是R上任意点，所以正弦函数sinx在R上是连续函数同理可知，余弦函数cosx在R上也是连续函数12什么是函数在一个区间上的连续性？如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点连续，则称函数f(x)在开区间(a，b)上连续；如果函数f(x)在闭区间a，b内每一点(非端点)都连续，且函数f(x)在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数f(x)
8、在闭区间a，b上连续一般地，对任何个区间I，如果函数f(x)在区间I内的每一点(非端点)都连续，且当区间I含有端点时，函数f(x)在端点处单侧连续(在左端点指的是右连续，在右端点指的是左连续)，则称函数f(x)在区间I上连续例如，函数f(x)=sin x在区间(-,+)内每一点都是连续的，因而可说函数f(x)=sinx在区间(-,+)上连续又如，函数在区间0，+)内的每一点(不包括端点x=0)都是连续的又在区间的左端点x=0满足，则在x=0点右连续，因此可说函数在区间(0,+)上连续利用连续函数的定义和性质，可以证明，切基本初等函数在它们的定义域内都是连续的计算极限若已知函数f(x)是初等函数
9、，而a又属于函数f(x)的定义域，则函数f(x)在点a连续，根据连续定义，“”与“f”可交换次序，即，于是，计算连续函数f(x)在点a的极限就变成了计算函数f(x)在点a的函数值f(a)例 思路启迪 可以先将极限式的分子，分母分解，这就会出现重复项x-3由于函数在点3的极限只与3附近点x的函数值变化有关与点3无关，即x3或x-30，因此可以消去分子与分母中的公共因式x-3规范解法13求函数极限有哪些方法?在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在(分母不为零)才能运算我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法例1 求思路启迪 由于f(x)与g(x
10、)是在的某邻域内有定义的初等函数,所以也是在的某邻域内有定义的初等函数根据初等函数的连续性可求出该极限规范解法 由初等函数的连续性，得例2 求思路启迪 由于当x2时,分子、分母的极限都存在，并且分母的极限不为0，所以可以将x2直接代入分子、分母，根据初等函数的连续性，分别求出分子分母的极限，再求商即可规范解法 例3 求思路启迪 由于将x-2代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了规范解法 例4 思路启迪 因为，所以不能直接用求函数极限差的运算法则,可将函数通分变形后再求极限规范解法 例5 求思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子、分母同除以最高次项，使分子、分母的极限都存在规范解法 点评 一般地例6 求思路启迪 求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求规范解法 例7 求思路启迪 分子，分母中分别有，直接求极限不好求，可以采用变量规换的方法，令规范解法 例8 求思路启迪 出现规范解法一 规范解法二 规范解法三
