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1、第二十章 重积分的计算及应用1. 二重积分的计算1 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) 2. 计算下列二重积分：(1) ，； (2) ，；(3) ，；(4) ，3. 改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) 4. 设在所积分的区域上连续，证明5. 计算下列二重积分：(1) (),是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) 7. 改变下列累次积分的次序：(1) ；(2
2、) ；(3) ；(4) 8. 求下列立体之体积：(1) 由所确定；(2) 由所确定；(3) 是由坐标平面及所围成的角柱体9. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环 ；(3) ：圆 ；(4) ：正方形 10. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成11. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ()，若；(3) ，其中，若；(4) ，其中 ()，若12. 作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成2
3、. 三重积分的计算1. 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ()；(5) ；(6) 2. 求曲线所围成的面积3. 用柱坐标变换计算下列三重积分：(1) ，由曲面围成；(2) , 由曲面 围成4. 用球坐标变换计算下列三重积分：(1) ：；(2) , 由围成；(3) ，由围成5. 作适当的变量代换，求下列三重积分：(1) ，由 围成的立体，其中；(2) ，同(1)；(3) ，由 ()， ()以及围成；(4) ，由围成；(5) 6. 求下列各曲面所围立体之体积：(1) ；(2) ()7. 计算下列三重积分：(1) ：；(2) 由
4、曲面所围成；(3) 由曲面所围成；(4) 是由曲面围成的位于第一卦限的有界区域；(5) 由曲面所围成；(6) 是由及所围成的区域3. 积分在物理上的应用1 求下列均匀密度的平面薄板的质心：(1) 半椭圆；(2) 高为，底分别为和的等腰梯形；(3) 所界的薄板；(4) 所界的薄板2 求下列密度均匀的物体的质心：(1) ；(2) 由坐标面及平面所围成的四面体；(3) 围成的立体；(4) 和平面围成的立体；(5) 半球壳3 求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1) 边长为和，且夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量；(2) 所围平面图形关于直线的转动惯量4 求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1) 关于轴的转动惯量；(2) 长方体关于它的一棱的转动惯量；(3) 圆筒，关于轴和轴的转动惯量5 设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量6 求均匀薄片对轴上一点(0，0，)(0)处单位质点的引力求均匀柱体对于(0，0，) ()处单位质点的引力4. 广义重积分1 设轴将平面有界区域分成对称的两部分和，证明：(1) 若关于为奇函数，即，则；(2) 若关于为偶函数，即，则 第 6 页 共 6 页
