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1、目录摘要：21引言：21、1定积分的概念的引出：21、1、1曲边梯形的面积21、1、2变速直线运动的路程32定积分的概念：42、1定义42、2说明：53定积分的性质54微积分基本定理94、1微积分学基本定理95定积分的计算115、1定积分的两种计算方法115、1、1换元积分法115、1、2分部积分法125、2 定积分的5个特殊例子125、2、1分段函数的定积分的计算125、2、2含有绝对值符号的定积分的计算135、2、3含有变上限（变下限）的定积分的计算 135、2、4 定积分不等式的证明145、2、5定积分恒等式的证明及应用15参考文献：16浅议定积分摘要：定积分是微积分学的一个组成部份，是
2、在分析、解决实际问题的过程中逐渐形成并 发展起来的。本文主要给出了定积分的概念，讨论了定积分的基本性质，揭示定积分与 不定积分之间的关系，并给出和讨论了定积分的几种特殊情况。关键词：定积分的定义，定积分的性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的计算1引言:1、1定积分的概念的引出:1、1、1曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”我们怎样来计算它们的面积呢？下面 以曲边梯形为例来讨论这个问题.设函数y = f (X)在a, b 上连续由曲 线y = f (X)与直线X = a、X = b、X轴所围 成的
3、图形称为曲边梯形(如图)为讨论方 便，假定f (X) 0 由于曲线y = f ( X )上的点的纵坐标不 断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差 异很大.为使高的变化较小，先将区间a,b 分成n个小区间，即插入分点.a = x x X x = b012n在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的底边的长度为A x = x - x ,i = 1,2,n .由于f (x)连续，故当A x很iii-1i小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间x , x 上任取一点g，则可认为第ii-1 ii个小曲边梯形的高度为f忆)，因此，这个小曲边梯形的面积A
4、 A a f忆)A x .iiii用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值，再求和，即得整个大曲边梯形面积的近似值A = X A A a X f (g ) A x -iiii 二 1i 二 1可以看出：对区间a,b所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A 记 九二max Ax ，则当九t 0时，曲边梯形的面积误差也趋于零.因此，所求面积为i1 i 0 求物体在时间间隔a, b内所经过的路程s 由于速度v(t)随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式路程=速度 X时间来计算物体作变速运动的路程但由于v(t)连续，当t的变化很小时，速度的变化也非常 小，因此在很小的一段时间内，变速运动可
5、以近似看成等速运动.又时间区间a,b可以 划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部 近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程.(1) 分割：用分点a = t t t t = b将时间区间a, b 分成n个小区间t , t 012ni-1 i(i = 1,2，n),其中第i个时间段的长度为A t = t - t ，物体在此时间段内经过的路程为iii -1A s (2) 求近似：当At很小时，在t ,t 上任取一点g，以V忆)来替代t ,t 上各时刻ii-1 iiii-1 i的速度则As v (g ) - At -iii(3) 求和：在每个小区间上用同样的
6、方法求得路程的近似值，再求和，得 取极限：令x= max A t ，则当丄0时，上式右端的和式作为s近似值的误差i1 i n会趋于0,因此s = lim工V(g )At .冶oi ii 二 1以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限我们以后 还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这 种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究.A = lim Z f (g ) Axi=12定积分的概念:2、1定义定积分定义：设函数f (X)在区间a, b 上有定义，任意用分点a = x x x x = b012n将a,b分成n个小区间用Ax =
7、 x - x表示第i个小区间的长度在x , x 上任取一iii-1i-1i点 g，作乘积 f (g ) -A x， i = 1,2n .再作和Z f (g ) A x .iiiiii 二 1若当X = max Ax t 0时，上式的极限存在，则称函数f (x)在区间a,b上可积，并称此i1 i 0，则r f (X)dx表示由X轴X = a, X = b及y = f (x)a 组成的封闭图形的面积。(2) 当f(x)在,订上可积时，定积分P f (x) dX 是- -个和式的极限，它 是- -个常数,a它只与被积函数f (X)和积分区间la,b有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即P f (x
8、)dx = b f (t)dt =f (u) duaaa(3) 函数可积的两个充分条件: 若函数f (x)在la,b上连续，则f (x)在la,b上可积。若函数f (x)在|a,b上有界且有有限个间断点，则f (x)在|a,b上可积。(4)在定义中，我们假定a b。如果b a，则规定f (x)dx = -fa f (x)dxab特别地，当 a = b 时，则有 f bf (x) dx = f af (x) = 0ab例：利用定积分的几何意义计算定积分 f 2 一 x2 dx- 2解：由 y = 2 - X 2，得 X 2 + y 2 = 2。因此 y =- X 2，- V2 冬 X “2 的图
9、形是半径 R =、 2，图心在原点和上半圆周。由定积分的几何意义可知J X 2 dx即为上半个圆的面积, 2故=1 兀(*2)2 =兀23定积分的性质性质1常数因子可以提到积分号外面，即Jb kf (x) dx = k Jb f (x) dx(k为常数)aa证明:J b kf (x) dx = lim aA x Jkf 忆)A xii0i = 1(IA x|t 0表示小区间长度趋于0)性质2证明: f (,)Ax0 i i i=1=kb f (x)dxa两个函数代数和的积分，等于这两个函数积分的代数和，即Jb f( x) 士 g (x) Lx = Jb f (x)dx Jb g (x)dxaa
10、aJb f (x) 士 g (x)Idx = lim f 忆)士 g 忆)kxiiiaA x 0i = 1=I lim f 忆.)A x 士IAx IL 011i = 11甲工g忆)a xIax It 0i ii = 1=J f (x) dx J g (x) dxaa此性质可以推广到任意有限多个可积函数的代数和的情形。性质3 (积分的可加性)对任意三个数a,b,C总有J bf (x) dx = J cf (x) dx + J bf (x) dxaac证明：当a c b时，因为f (x)在la, b上可积，所以不管怎么分割la, b，积分和式的极限都是不变的。因此，可以将c永远取作一个分点，于是
11、 工f忆)A x =工f忆)A x +工f忆)XA xiiiiiia , b a , c tc, b 两边同时取极限q A x |t 0)，得J bf (x) dx = Jcf (x) dx + J bf (x) dxaac当a b c时，由以上结果可得J cf (x) dx = J bf (x) dx + Jcf( x) dxaab=J f (x) dx - J f (x) dx移项，得性质4特别地,性质5证明:J bf (x) dx = J cf (x) dx + Pf (x) dxaac若在la, b上。f (x) = k (k为常数则b kdx = k (b 一 a)a当k = 1时，
12、Jb dx = b - aa右在 La, b上，f (x) g (x)，则Jb f (x) dx 0 , Ax. 0 , (i = 1,2, n),iii所以吧i = 1f g忆)-f 忆)kx 0。从而得iiJb f (x) dx 0，x e a, b ，则Jb f (x) dx 0a性质6 设M、m分别为f (X)在a, b上的最大值和最小值m (b 一 a) Jb f (x) dx M (b 一 a)a证明：由于m f (x) M，x e a,b，由性质5及性质4可得Jb mdx Jb f (x) dx Jb Mdxaaam (b 一 a) Jb f (x) dx 0，x eLa, b ，则曲线y =x轴所围成的曲边梯形的面积，介于以区间a,b为底，分别以积之间。性质7 (积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间la,b上连续，则在la,b上至少存在 一点g，使得下式成立。Jbf (x) dx = f (g )(b a)， g e a, b a证明：由于f (x)在la,b上连续，所以f (x)有最大值M和最小值m。由性质5有m (b 一 a) J bf (g ) dx M (b 一 a)a于是 m Jb f (x)d
