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1、例1用泰勒公式，证明：当X1时，ex.证 设/勿，则f 3当01时有二阶导数，且列)二广訂将f (0点尸1处依泰勒公式展开，得/W =/(1) TOOT) +晋 G -I)2【強与总咼即倾吟宀由于 eO0 , (jf-L)2 0,故 f (劝0,即 eA-0.从而eAex例2设f (劝在g, b上连续，在b)内二阶可导，若/1()=/,=0, 则在仙b)内至少有一点纹使的-绝)卜色吝旷证由泰勒公式，得/W = /() + |/H (：)(兀-23 N 力/W =+ |/H )(兀一疔(沐生 &)ahx =令2 ,代入得相减，得子何-八扣-/）-八即O设（卜滋班0）|,&2）|）则 |/() -
2、/卜 3 -。| 厂 ) | 十 | /苗)|例3验证当2时，按公式6匕 1 + X+误差计算/的近似值，所产生的误差小于0.01：并求&的近似值，使误差小于0.01.x2 X5Qa *l + x+ + J-, z x解因为公式26右边是*的三阶麦克劳林公式，故误差尽（Q0迖-从而 2,故0.0045 0.01例4求函数 祸=五按匕一4）的幕展开的带有拉格朗口型余项的三阶泰 勒公式.1-1 丄3 -15解由于八旷尹“炒盲八J讣尹/心方4允ZjO因此=2 +(x-4) 2 + _L(j-4)3+L_(r-4/4 糾 工2 雷其中疳介于x与4之间.例5利用泰勒公式求极限1121十1宀27宁牯如1-
3、U+g(/)Q 2!4一宀嗚Tp +。的I (cosx -& ) sin X原式二吧例6求函数了用顷F在X二0处的/?阶导数八 （刀23）解由f x）和同u）的麦克劳林公式坨）Z八（-1严比较f的系数得QT-2五、练习题1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.(2) sinl813.10724（答：（1）（误差刈炭xiL； （2）0. 3090,误差为 2.53xio-5）对于2、设函数f匕）在（一1, 1）内具有二阶连续导数，且rw*o,试证: 任意非零 心TR,存在唯一的 的岂0,1）,使/C）=/（CDW）成立，且（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）3、求函数的带有拉格朗口型余项的三阶麦克劳林公式.(答:/WX5 sin(&)lsin2() + 2 4X + +2X33cos(&)(0 5 1)co sat -e4、利用泰勒公式求极限（答：6 ）5、求函数的带有皮亚诺型余项的力阶麦克劳林公式
