《高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.3 导数在实际问题中的应用及综合应用讲义-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.3 导数在实际问题中的应用及综合应用讲义-人教版高三数学试题（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.3导数在实际问题中的应用及综合应用考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度20132014201520162017导数在实际问题中的应用及综合应用1.实际问题中的最值问题2.函数综合问题的探究B19题16分填空题解答题分析解读导数的实际应用和综合应用是江苏高考热点内容,一般放在压轴题位置,重点考查学生分析问题的能力,对数学素养要求很高.五年高考考点导数在实际问题中的应用及综合应用1.(2015课标改编,12,5分)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)2;a=0,b=2;a=1,b=2.答案3.(2017天津理,20,14分)设
2、aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0,故当x1,x0)时,H1(x)0,H1(x)单调递增.因此,当x1,x0)(x0,2时,H1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)0,即h(m)0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在1,2上单调递增,故当x1,x0)时,H2(x)0,H2(x)单调
3、递增;当x(x0,2时,H2(x)0,H2(x)单调递减.因此,当x1,x0)(x0,2时,H2(x)H2(x0)=0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以,h(m)h(x0)0.(3)证明:对于任意的正整数p,q,且1,x0)(x0,2,令m=,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由(2) 知,当m1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m(x0,2时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)-f =0.由(1)知g(x)在1,2上单调递增,故0g(1)g(x1)0,故f(x)在1,2上单调递
4、增,所以f(x)在区间1,2上除x0外没有其他的零点,而x0,故f0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|1.所以.所以,只要取A=g(2),就有.4.(2014江苏,19,16分)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x01,+),使得f(x0)0),则t1,所以m-=-对任意t1成立.因为t-1+12+1=3,所以-,
5、当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)=ex+-a(-x3+3x),则g(x)=ex-+3a(x2-1).当x1时,ex-0,x2-10,又a0,故g(x)0,所以g(x)是1,+)上的单调增函数,因此g(x)在1,+)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x01,+),使+-a(-+3x0)0成立,当且仅当最小值g(1)0,故e+e-1-2a.令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h(x)=1-.令h(x)=0,得x=e-1.当x(0,e-1)时,h(x)0,故h(x)是(e-1,+)上的单调增函数.所以h(x)在(0,+)上
6、的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当x(1,e-1)(0,e-1)时,h(e-1)h(x)h(1)=0;当x(e-1,e)(e-1,+)时,h(x)h(e)=0.所以h(x)0对任意的x(1,e)成立.当a(1,e)时,h(a)0,即a-1(e-1)ln a,从而ea-1h(e)=0,即a-1(e-1)ln a,故ea-1ae-1.综上所述,当a时,ea-1ae-1.教师用书专用(56)5.(2014辽宁,21,12分)已知函数f(x)=(cos x-x)(+2x)-(sin x+1),g(x)=3(x-)cos x-4(1+sin x)ln.证明:(1)存在唯一x0,
7、使f(x0)=0;(2)存在唯一x1,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1.证明(1)当x时, f (x)=-(1+sin x)(+2x)-2x-cos x0, f=-2-0,当t时,u(t)0,所以u(t)在(0,x0上无零点.在上u(t)为减函数,由u(x0)0,u=-4ln 20,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1,使g(x1)=0.因x1=-t1,t1x0,所以x0+x10,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数;(3)设ab,比较 与 的大小,并说明理由.解析(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.设直
8、线y=kx+1与g(x)=ln x的图象在P(x0,y0)处相切,则有y0=kx0+1=ln x0,k=g(x0)=,解得x0=e2,k=.(2)曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数.令(x)=,则(x)=,(2)=0.当x(0,2)时,(x)0,(x)在(2,+)上单调递增,(x)在(0,+)上的最小值为(2)=.当0m时,在区间(0,2)内存在x1=,使得(x1)m,在(2,+)内存在x2=me2,使得(x2)m.由(x)的单调性知,曲线y=与y=m在(0,+)上恰有两个公共点.综上所述,当x0时,若0m,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点.(3)可以
9、证明 .事实上,1-1-(ba).(*)令(x)=+-1(x0),则(x)=-=0(当且仅当x=0时等号成立),(x)在0,+)上单调递增,x0时,(x)(0)=0.令x=b-a,即得(*)式,结论得证.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点导数在实际问题中的应用及综合应用1.(苏教选22,一,4,4,变式)海轮每小时的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30千米/时,当速度为10千米/时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)是每小时400元.如果甲、乙两地相距800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为.答案20千米/时2.(
10、2016江苏淮安阶段测试,11)将一个相邻两边长分别为a,b(0ab)的长方形的四个角切去四个相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体形的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则的取值范围是.答案3.(2018江苏淮安、宿迁期中)将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分.(1)在图甲的方式下,剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面,求该圆锥的母线长及底面半径;(2)在图乙的方式下,剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面,求长方体体积的最大值.解析(1)图甲对应的圆锥如图丙,圆锥母线为PA=L分米,圆锥底面半径为OA=r分米,则有L+r+r=,2L=2r,解得L=,r=,该圆锥的母线长为分米,底面半径为分米.(2)图乙剩余部分覆盖的长方体如图丁所示,设其同一顶点处的三条棱长分别为a,b,c,则2(a+b)=1,b+c=1a=-b,c=1-b,长方体体积V=abc=b(1-b)=b3-b2+b,令g(b)=b3-b2+b,则g(b)=3b2-3b+,令g(b)
