《高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第6讲 高考中导数的综合运用 第1课时 利用导数研究函数的单调性、极值、最值教师用书 理-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第6讲 高考中导数的综合运用 第1课时 利用导数研究函数的单调性、极值、最值教师用书 理-人教版高三数学试题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲高考中导数的综合运用第1课时利用导数研究函数的单调性、极值、最值题型一| 利用导数研究函数的单调性已知函数f(x)xln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，)上单调递增，求a的取值范围解题指导(1)求f(x)求f(x)的单调区间(2)f(x)在(1，)上单调递增f(x)0在(1，)上恒成立求a的范围解(1)函数f(x)xln x的定义域为(0，)，1分f(x)1. 2分当14a0，即a时，得x2xa0，则f(x)0.函数f(x)在(0，)上单调递增.3分当14a0，即a时，令f(x)0，得x2xa0，解得x10，x2. 4分()若a0，则x20.x(0
2、，)，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增. 6分()若a0，则x时，f(x)0；x时，f(x)0.函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. 8分综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 10分(2)由题意知，f(x)0在(1，)上恒成立，即x2xa0在(1，)上恒成立，11分令g(x)x2xa2a，则g(x)2a，从而2a0，a2. 12分当a2时，f(x)0在(1，)上恒成立，13分因此实数a的取值范围是(，2. 14分【名师点评】1.研究函数的单调性，必须优先考虑函数的定义域2根据函数的单调性求参数
3、取值范围的思路：(1)求f(x)；(2)将单调性转化为f(x)0或f(x)0恒成立问题求解，要注意“”是否可以取到，应加以检验已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb. 4分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)12ab0，b2a1. 6分(2)由(1)得g(x).7分函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x). 8分由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函
4、数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0时，令g(x)0得x1或x， 10分若1，即a，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即函数g(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减；12分若1，即0a，由g(x)0得x或0x1，由g(x)0得1x，即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增.13分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a时，函数g(x)在(0，)上单调递
5、增；当a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增. 14分题型二| 利用导数研究函数的极值、最值已知函数f(x)ex，a，bR，且a0.(1)若a2，b1，求函数f(x)的极值；(2)设g(x)a(x1)exf(x)，当a1时，对任意x(0，)，都有g(x)1成立，求b的最大值；设g(x)为g(x)的导函数若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范围解(1)当a2，b1时，f(x)ex，定义域为(，0)(0，).1分所以f(x)ex. 2分令f(x)0，得x11，x2.3分列表：x(，1)1(1,0)f(x)00f(x)极大值极小值5分由表知f(x)的极大值是f(
6、1)e1，f(x)的极小值是f4. 6分(2)因为g(x)(axa)exf(x)ex，当a1时，g(x)ex.7分因为g(x)1在x(0，)上恒成立，所以bx22x在x(0，)上恒成立. 8分记h(x)x22x(x0)，则h(x).9分当0x1时，h(x)1时，h(x)0，h(x)在(1，)上是增函数. 10分所以h(x)minh(1)1e1.所以b的最大值为1e1.11分因为g(x)ex，所以g(x)ex. 12分由g(x)g(x)0，得exex0，整理得2ax33ax22bxb0.13分若存在x1，使g(x)g(x)0成立，等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立. 14分因为a0，
7、所以.设u(x)(x1)，则u(x).15分因为x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在(1，)上是增函数，所以u(x)u(1)1，所以1，即的取值范围为(1，). 16分【名师点评】1.函数f(x)在xx0处取得极值的判断方法：求得导数f(x)后，检验f(x)在xx0左右的符号，(1)左正右负f(x)在xx0处取极大值；(2)左负右正f(x)在xx0处取极小值2由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.已知函
8、数f(x)xax2ln(1x)，其中aR.(1)若x2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在0，)上的最大值是0，求a的取值范围【导学号：19592018】解(1)f(x)，x(1，). 2分依题意，得f(2)0，解得a. 4分经检验，a时，符合题意. 6分(2)当a0时，f(x)，x(1，)故f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0).7分当a0时，令f(x)0，得x10，x21.当0a1时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)f(x)的单调增区间是
9、，单调减区间是和(0，).9分当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)综上，当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)；当0a1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，). 10分(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，)上单调递增，由f(0)0知不合题意. 12分当0a0，f(x)在区间上递增可知，ff(0)0，不合题意. 14分当a1时，f(x)在(0，)上单调递减，可得f(x)在0，)上的最大值是f(0)0符合题意即f(x)在0，)上的最大值是0时，a的取值范围是1，). 16分题型三| 利用导数解决生活中的实际问题(2016苏北四市
10、期末)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米建立如图61所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数yx(1x9)模型，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元(题中所涉及长度单位均为百米)图61(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价解(1)在题图直角坐标系中，因为曲线C的方程为yx(1x9)，且PMx，所以点P坐标为， 1分 直线OB的方程为xy0， 2分则点P到直线xy0的距离为， 4分又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，则两条道路总造价为f(x)5x405(1x9). 8分(2)因为f(x)5x405(1x9)，所以f(x)， 10分令f(x)0，得x4，列表如下：x(1,4)
