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1、课时跟踪检测（四十二） 空间向量的综合应用一保高考，全练题型做到高考达标1.(2019海安检测)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解：(1)证明：以A为坐标原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，.0110，即B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在
2、一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)由(1)知，(a,0,1)，.设平面B1AE的法向量为n(x，y，z)则即取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，即az00，解得z0.又DP平面B1AE，在棱AA1上存在一点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)则cosn， .二面角AB1EA1的大小为30，解得a2
3、，即AB的长为2.2(2018南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是线段PC的中点(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；(2)若点F在线段PB上，且使得二面角FDEB的正弦值为，求的值解：(1)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为PDDC，所以DADCDP，不妨设DADCDP2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，所以(2,0,
4、2)，(2，1,1)，所以cos，从而，.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知，(0,0,2)，(0,1,1)，(2,2,0)，(2,2，2)设，则(2，2，2)，从而(2，2，22)设m(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，则即取z1，则y1，x121.故m(21，)为平面DEF的一个法向量，设n(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量，则即取x21，则y21，z21.所以n(1，1,1)为平面BDE的一个法向量因为二面角FDEB的正弦值为，所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为，即|cosm，n|，化简得421.因为点F在线段PB上，所以01，所以，即.3(2018常
5、州期末)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1底面ABCD，D1AD1D，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.(1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F平面AB1C；(2)求二面角CB1AB的余弦值解：(1)取A1D1的中点E，因为D1AD1D，所以D1AA1A，所以AEA1D1.又A1D1AD，所以AEAD.因为侧面ADD1A1底面ABCD，侧面ADD1A1底面ABCDAD，AE侧面ADD1A1，所以AE平面ABCD.则以A为原点，以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)
6、，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，1,1)，设F(a，b,0)，则(a，b1，1)， (1,1,0)，(1，1,1)，因为D1F平面AB1C，所以即得ab，所以F，即F为AC的中点所以存在AC的中点F，使D1F平面AB1C.(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1.设平面B1AB的法向量n2(x，y，z)，因为(1,0,0)，所以即令y1，得n2(0,1,1)则cosn1，n2.由图知二面角CB1AB为锐角，所以二面角CB1AB的余弦值为.4(2019苏北四市一模)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，M为PC的中点(1)
7、求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求的值解：(1)因为PA平面ABCD，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又因为BAD90，所以PA，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)所以(0,0,4)，(1,1,2)，所以cos，所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为.(2)因为AN，所以N(
8、0，0)(04)，则(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则即令x2，得y0，z1，所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量，因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos，m|，解得10,4，所以的值为1.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2018无锡期末)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD1，D1D2，点P为棱CC1的中点(1)设二面角AA1BP的大小为，求sin 的值；(2)设M为线段A1B上的一点，求的取值范围解：(1)如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1，1,0)，所以(1，1,1)，(1,0，1)，设平面PA1B的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，得m(1,2,1)又平面AA1B的一个法向量n(1,0,0)，所以cosn，m，则sin .(2)设M(x，y，z)，因为M在A1B上，所以，即(x1，y1，z)(0，1,2)(01)，所以M(1,1，2)，所以(0，1，2)，(1，12)，所以 ，令21t1,1，则，当t1,0)时，当t(0,1时，当t0时，0，所以，则.
