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1、数学思想集训(三)分类讨论思想题组1由概念、法则、公式引起的分类讨论1已知数列an的前n项和SnPn1(P是常数)，则数列an是_(填序号)等差数列；等比数列；等差数列或等比数列；既不是等差数列也不是等比数列SnPn1，a1P1，anSnSn1(P1)Pn1(n2)当P1且P0时，an是等比数列；当P1时，an是等差数列；当P0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列2(2016长春模拟)已知函数f(x)若存在x1，x2R，且x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，则实数a的取值范围是_(，4)当1，即a2时，显然满足条件；当a2时，由1a2a5得2a4，综上可知a4.
2、3已知函数f(x)的定义域为(，)，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如图1所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)1的解集为_图1(3，2)(2,3)由导函数图象知，当x0时，f(x)0，即f(x)在(，0)上为增函数，当x0时，f(x)0，即f(x)在(0，)上为减函数，又不等式f(x26)1等价于f(x26)f(2)或f(x26)f(3)，故2x260或0x263，解得x(3，2)(2,3)4已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x21的离心率为_或由题意可知，m22816，m4.(1)当m4时，曲线为双曲线x21.此时离心率e.(2)当m4时，曲线为椭圆x21.
3、此时离心率e.5设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)，则q的取值范围是_(1,0)(0，)因为an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0(nN*)，则有或由得1q1.故q的取值范围是(1,0)(0，)6若x0且x1，则函数ylg xlogx10的值域为_【导学号：19592073】(，22，)当x1时，ylg x22，当且仅当lg x1，即x10时等号成立；当0x1时，ylg x22，当且仅当lg x，即x时等号成立y(，22，)题组2由参数变化引起的分类讨论7已知集合Ax|1x5，Cx|axa3若CAC，则a的取值范围为
4、_(，1因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得a1.由得a1.8已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线ykx3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为_(，33，)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示ykx3过定点(0，3)，当ykx3过点C(1,0)时，k3；当ykx3过点B(1,0)时，k3.k3或k3时，直线ykx3与平面区域D有公共点9已知函数f(x)(a1)ln xax21，试讨论函数f(x)的单调性解由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax. 3分当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故
5、f(x)在(0，)上单调递减. 8分当1a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减. 14分综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. 16分题组3根据图形位置或形状分类讨论10已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_或若双曲线的焦点在x轴上，则，e；若双曲线的焦点在y轴上，则，e.11正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为_4或若侧面矩形的长为6，宽为4，则VS底h22sin 6044.若侧面矩形的长为4，宽为6，则VS
6、底hsin 606.12已知中心在原点O，左焦点为F1(1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为OB.图2(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C1的方程为：1(mn0)，椭圆C2的方程为：(0，且1)，则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆如图2，已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长MN的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，直线AB的方程为1，2分F1(1,0)到直线AB的距离db，a2b27(a1)2，又b2a21，解得a2，b，故椭圆C的方程为1. 5分(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为1，若切线l垂直于x轴，则其方程为x2，易求得MN2. 7分若切线l不垂直于x轴，可设其方程ykxb，将ykxb代入椭圆C的方程，得(34k2)x28kbx4b2120，(8kb)24(34k2)(4b212)48(4k23b2)0，即b24k23，(*) 10分记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)将ykxb代入椭圆C2的方程，得(34k2)x28kbx4b2360，此时x1x2，x1x2，|x1x2|，MN42.13分34k23，11，即224.综合得：弦长MN的取值范围为2，4. 16分
