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1、第六章 数列、推理与证明第一节 数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定次序排列的一列数数列的项数列中的每个数数列的通项数列an的第n项an通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an
2、4数列的分类单调性递增数列nN*，an1an递减数列nN*，an1an常数列nN*，an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列nN*，存在正整数常数k，ankan小题体验1已知数列an的前4项为1,3,7,15，则数列an的一个通项公式为_答案：an2n1(nN*)2已知数列an中，a11，an1，则a5_.答案：3(教材习题改编)已知数列an的通项公式为ann2n，数列an仅在n3时取得最小的项，则实数的取值范围是_解析：法一：因为ann2n 2，由于数列an仅在n3时取得最小的项，所以，从而得7na3且a4a3，即50，故75.答案：(7，
3、5)4(教材习题改编)数列an中，已知an(1)nna(a为常数)，且a1a43a2，则an_.解析：由题意得1a4a3(2a)，所以a3，则an(1)nn3.答案：(1)nn31数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关2易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形小题纠偏1已知Sn是数列an的前n项和，且Snn21，则数列an的通项公式是_答案：an2数列a
4、n的通项公式为ann29n，则该数列第_项最大答案：4或5题组练透1数列，的一个通项公式是_解析：通过观察各项，可得分母为(2n1)(2n1)，分子为2n，则an.答案：an2根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)(易错题)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an2(n1)，nN*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n，nN*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a
5、，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an(4)这个数列的前4项可以写成101,1001,1 0001，10 0001，所以它的一个通项公式an10n1，nN*.谨记通法由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如“题组练透”第2(
6、2)题典例引领已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解：(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an由题悟法已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n
7、2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写即时应用已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1，求an.解：(1)a5a6S6S4(6)(4)2，当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也适合此式，所以an(1)n1(2n1)(2)因为当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an命题分析递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确
8、定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接常见的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1AanB(A0且A1)，求an；(4)形如an1(A，B，C为常数)，求an.题点全练角度一：形如an1anf(n)，求an1在数列an中，a11，anan1(n2)，求数列an的通项公式解：anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11，上式也成立an.角度二：形如an1anf(n)，求an2若数列an满足：a11，an1an2n，求数列an的通项公式解：由题意知an1
9、an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.角度三：形如an1AanB(A0且A1)，求an3已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解：an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.角度四：形如an1(A，B，C为常数)，求an4已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式解：an1，a11，an0，即，又a11，则1，是以1为首项，为公差的等差数列(n1)，an(nN*)方法归纳典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an
10、1an2nan1anf(n)叠乘法a11，2nan1AanB(A0,1，B0)化为等比数列a11，an12an1an1(A，B，C为常数)化为等差数列a11，an1一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016徐州调研)设数列an的前n项和Snn2n，则a4的值为_解析：a4S4S320128.答案：82数列1，的一个通项公式an_.解析：由已知得，数列可写成，故通项为.答案：3在数列an中，a11，anan1(n2)，则an_.解析：ana11.答案：4已知数列an的前n项和为Snn22n2，则数列an的通项公式为_解析：当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n3，由于n1时a1的值不
11、适合n2的解析式，故an答案：an5(2016泰州调研)数列an定义如下：a11，当n2时，an若an，则n_.解析：因为a11，所以a21a12，a3，a41a23，a5，a61a3，a7，a81a44，a9，所以n9.答案：9二保高考，全练题型做到高考达标1设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_解析：因为an3 2，且nZ，所以当n2或n3时，an取得最大值，即最大值为a2a30.答案：02数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为_解析：anan1，a22，anS2111102.答案：3(2015无锡调研)在数列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN*)的个位数，则a2 016_.解析：由题意得：a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 016a33566a66.答案：64已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq且a26，那么a10_.解析：a4a2a212，a6a4a218，a10a6a430.答案：305若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为_解析：a119，an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，
