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1、章末质量评估(三)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，如果a与b为共线向量，则 ()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y解析a(2x，1，3)与b(1，2y，9)共线，故有，x，y.答案C2已知a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于 ()A15 B5 C3 D1解析a(3，2，1)，b(1，1，2)，5a3b15ab15.答案A3已知ab0，|a|2，|b|3，且(3a2b)(ab)0，则等于 ()A. B C D1解析由ab0及(3
2、a2b)(ab)0，得3a22b2，又|a|2，|b|3，所以，故选A.答案A4已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是 ()A2a，ab，a2b B2b，ba，b2aCa，2b，bc Dc，ac，ac解析不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a2b(2a)(2)(ab)，三个向量共面：B中，b2a(2b)(2)(ba)，三个向量共面；D中，ac2c(ac)，三个向量共面；只有C中的三个向量不共面答案C5空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 ()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定解析(2
3、，2，2)，(1，1，1)，又2，即ABCD.答案A6已知a(2，3，1)，b(2，0，3)，c(0，0，2)，则下列结论正确的是 ()Aabbc B|a|bc|C|ab2c|5 Dacb解析对于A：ab2230137，bc2000326故A错对于B：|a|，|bc|，故B错对于C：ab2c(4，3，0)|ab2c|5.故C正确答案C7在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是 ()A. B4 C3 D2解析如图所示，以BC边上的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，则PD的长即为所求，由A(0，0，0)，P(0，0，8)，D(0，4，0)，则|4.答案B8.如图，在
4、正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D向量与的夹角为60解析以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)(1，1，0)，(1，1，1)，(0，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)对于选项A.由知结论正确；对于选项B，由(1，1，1)(1，1，0)0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由(1，1，1)(1，0，1)0知结论
5、正确；对于选项D，由cos，知结论不正确答案D9如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 ()A. B. C. D.解析以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1ABAC2，则(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，(0，1，2)，所以0，所以QP与AM所成角为.答案D10已知(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 ()A(，) B(，)C(，) D(，)解析设Q(
6、x，y，z)，因Q在上，故有，可得：x，y，z2，则Q(，2)，(1，2，32)，(2，1，22)，所以6216106()2，故当时，取最小值，此时Q(，)，故选C.答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上)11若a(2，3，5)，b(3，1，4)，则|a2b|_解析因为a2b(8，5，13，)，所以|a2b|.答案12已知平面经过点O(0，0，0)，且e(1，1，1)是的法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_解析e(x，y，z)(1，1，1)xyz0.答案xyz013设a，b是直线，是平面，a，b，向量a1在a上，向量b1在b
7、上，a1(1，1，1)，b1(3，4，0)，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为_解析由题意，cos |cosa1，b1|.答案14已知四面体顶点A(2，3，1)、B(4，1，2)、C(6，3，7)和D(5，4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为_解析设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)则即令x1，则n(1，2，)，(7，7，7)，故所求距离为11.答案11三、解答题(本大题共5小题，共54分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15(10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，1，2)，B(1，2，1)，C(1，1，3)，D(3，5，3)求证：四边形ABCD是一个梯形证明因为
8、(1，2，1)(3，1，2)(2，3，3)，(3，5，3)(1，1，3)(4，6，6)，因为，所以和共线，即ABCD.又因为(3，5，3)(3，1，2)(0，4，1)，(1，1，3)(1，2，1)(2，1，2)，因为，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形16(10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)证明：ACBC1；(2)求二面角C1ABC的余弦值大小解直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，故AC， BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(
9、0，4，4) (1)证明(3，0，0)，(0，4，4)，0.故ACBC1.(2)平面ABC的一个法向量为m(0，0，1)，设平面C1AB的一 个法向量为n(x，y，z)，(3，0，4)，(3，4，0)，由得令x4，则y3，z3.n(4，3，3)，故cosm，n.即二面角C1ABC的余弦值为.17(10分)已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解a(1，1，2)(2，0，2)(1，1，0)，b(3，0，4)(2，0，2)(1，0，2)(1)cos ，a与b的夹角的余弦值为.(2)ka
10、b(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k，k，0)(2，0，4)(k2，k，4)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，k或k2.18(12分)如图，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点，试判断向量与向量，是否共面解根据图形可以得到，.由已知得，.所以得2，即.故向量与向量，共面19(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，EB11，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离
11、(1)证明如图所示，建立空间直角坐标系，设A1(a，0，0)，则C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)， A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(，1，0)(0，2，2)，(a，0，0)，(0，2，2)，0000，0440.B1DAB，B1DBD.又ABBDB，B1D平面ABD.(2)证明(a，0，0)，(0，2，2)，(，0，0)，(0，1，1)，GFAB，EFBD.又GFEFF，ABBDB，平面EGF平面ABD.(3)解由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离由(1)(2)知平面EGF的法向量为(0，2，2)，又(0，2，1)，所求距离d.
