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1、 1/11 2022 北京西城高三（上）期末 数 学 2022.1 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分（选择题（选择题共共40分）分）一、选择题共一、选择题共10小题，每小题小题，每小题4分，共分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合32Axx=，23Bxx=，则AB=（A）(3,3（B）(3,3)（C）(3,2（D）(2,2（2）在复平面内，复数(12i)iz=+对应的点位于（A）第一象限（B
2、）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限（3）在ABC 中，若2a=，3b=，1cos()3AB+=，则c=（A）17（B）4（C）15（D）3（4）若双曲线2222:1xyCab=的一条渐近线方程为52yx=，则双曲线C的离心率为（A）12（B）23（C）32（D）2（5）如图，在直三棱柱111ABCABC中，点,E F分别是棱11,AC BC的中点，则下列结论中不正确的是（A）1/CC平面11A ABB （B）/AF平面111A B C（C）/EF平面11A ABB （D）/AE平面11B BCC（6）已知函数1,0,()2,0 xxxf xax=的值域为R，则实数a的取值范围是（A）0a
3、 （B）0a （C）1a（D）1a（7）已知na为等比数列，nS为其前n项和，若213Sa=，223aa=，则4S=（A）7（B）8（C）15（D）31 2/11（8）已知函数()f x的图象在区间0,2上连续不断，则“(0)(1)(2)0fff+=”是“()f x在0,2上存在零点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030 年为碳达峰时期，2060 年实现碳中和，到 2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过 70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于 1898 年提
4、出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：nCIt=，其中n为Peukert 常数.为了测算某蓄电池的 Peukert 常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流20AI=时，放电时间20ht=；当放电电流30AI=时，放电时间10ht=.则该蓄电池的 Peukert 常数n大约为（参考数据：lg20.30,lg30.48）（A）43（B）53（C）83（D）2（10）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为AXMm=，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A，2A，3A，nA是集合*N的元素个数均不相同的非空真子集，
5、且123120nAAAAXXXX+=，则n的最大值为（A）14（B）15（C）16（D）18 第二部分第二部分（非选择题（非选择题共共110分）分）二、填空题共二、填空题共5小题，每小题小题，每小题5分，共分，共25分。分。（11）在62()xx的展开式中，常数项为_.（用数字作答）（12）已知点(2,4)A在抛物线2:2C ypx=上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为_；AOF的面积为_.（13）在长方形ABCD中，|1AB=，13BEBC=，且AB AEAD AE=，则|AD=_，AE AC=_.（14）已知函数cos(),0,()sin,0 xxf xxx+=是偶函数
6、，则的一个取值为_.（15）在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，过点A的平面分别与棱111,BB CC DD交于点E,F,G，记四边形AEFG在平面11BCC B上的正投影的面积为1S，四边形AEFG在平面11ABB A上的正投影的面积为2S.给出下面有四个结论：四边形AEFG是平行四边形；12SS+的最大值为 2；12S S的最大值为14；四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值 为62.则其中所有正确结论的序号是_.3/11 三三、解答解答题共题共6小题，小题，共共85分。解答应写出文字说明，分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程。（16）（本小题 1
7、3 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，2PDAD=，4AB=，点E在线段AB上，且34AEAB=.（）求证：CE 平面PBD；（）求二面角PCEA的余弦值.（17）（本小题 13 分）已知函数()sin()(0,0,0)f xAxA=+的部分图象如图所示，在条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知（）求函数()f x的解析式；（）设函数()()cos(2)3g xf xx=+，若()g x在区间0,m上单调递减，求m的最大值 条件：2ca=；条件：3b=；条件：712c=注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分 4/11（18）（本小题 1
8、4 分）2021 年 7 月 11 日 18 时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台 2021 年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7 月 11 日至 13 日，华北地区将出现 2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台 7 月 13 日 2:00 统计的 24 小时全国降雨量排在前十的区域.北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海 A平台 河北丰南 山东长清 180 毫米 175 毫米 144 毫米 144 毫米 143 毫米 140 毫米 130 毫米 127 毫米 126 毫米 126 毫米（）从这 10个区域中随机选出 1 个区域，求这
9、个区域的降雨量超过 135 毫米的概率；（）从这 10 个区域中随机选出 3 个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望；（）在 7月 13 日 2:00统计的 24 小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过 140 毫米的区域降雨量的方差为21s，降雨量在 140 毫米或 140 毫米以下的区域降雨量的方差为22s，全部十个区域降雨量的方差为23s.试判断21s，22s，23s的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）已知函数2()e(1)xf xxax=+.（）若0a=，求()f x在点(0,(0)f处的切线方程；（）若()f x在(1,1)
10、上恰有一个极小值点，求实数a的取值范围；（）若对于任意(02x，2()e(cos1)xf xxx+恒成立，求实数a的取值范围.（20）（本小题 15 分）已知椭圆2222:1xyMab+=的焦点为(2,0)F，长轴长与短轴长的比值为2.（）求椭圆M的方程；（）过点F的直线l与椭圆M交于,A B两点，BCx轴于点C，ADx轴于点D，直线BD交直线4x=于点E，求ECD与EAB的面积之比.5/11（21）（本小题 15 分）已知数列12:,(4)NA a aaN，其中12,Na aaZ，且12Naaa.若数列12:,NA a aa满足11,NNaa aa=，当2,3,1iN=时，11iiaa=+或
11、11ia+，则称12:,NA a aa为数列A的“紧数列”.例如，数列:2,4,6,8A的所有“紧数列”为2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.（）直接写出数列:1,3,6,7,8A的所有“紧数列”A；（）已知数列A满足：11a=，2NaN=，若数列A的所有“紧数列”A均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为1N+；（）已知数列A满足：10a=，22a=，对于数列A的一个“紧数列”A，定义集合()|2,3,1iiS AaaiN=，如果对任意()xS A，都有()xS A，那么称A为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求Na的最小值.（用关于N的代数
12、式表示）6/11 2022 北京西城高三（上）期末数学 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）A（2）B（3）A（4）C（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）（11）60（12）28yx=4（13）32（14）2（答案不唯一）（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）因为PD 平面ABCD，CE 平面ABCD，所以PDCE.因为4AB=，34AEAB=，所以3AE=，1BE=.所以2ABBCADBE=.所以RtRtCBEBAD，所以BDCE.又因为PDCE
13、，PDBDD=，所以CE 平面PBD.5 分（）因为PD 平面ABCD，AD 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PDAD，PDCD.又因为ABCD是矩形，ADCD，所以,AD CD PD两两垂直，如图建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,4,0)C，(0,0,2)P，(2,3,0)E，所以(0,4,2)PC=，(2,1,0)CE=.设平面PCE的一个法向量为(,)x y z=n，则 0,0,CEPC=nn即20,420.xyyz=令1x=，则2y=，4z=.于是(1,2,4)=n.因为PD 平面ABCD，取平面ACE的法向量为(0,0,1)=m.7/11 则44 21cos,|2111416
14、=+m nm nm n.由图可知二面角PCEA为锐角，所以二面角PCEA的余弦值是4 2121.13 分（17）（共 13 分）解：（）选条件选条件：因为2ca=，所以22T=，即T=，则22T=.由题意可知2A=，则()2sin(2)f xx=+.因为3b=，2()2sin()03f b=+=，所以23kk+=Z，即23k=+.因为0，所以3=，1k=.所以()2sin(2)3f xx=+.6 分 选条件选条件：因为2ca=，所以22T=，即T=，则22T=.由题意可知2A=，则()2sin(2)f xx=+.因为712c=，7()2sin()26f c=+=，所以732 62kk+=+Z，
15、即2 3k=+.因为0，所以3=，0k=.所以()2sin(2)3f xx=+.6 分 选条件选条件：因为3b=，712c=，所以44Tcb=，即T=，则22T=.由题意可知2A=，则()2sin(2)f xx=+.因为712c=，7()2sin()26f c=+=，所以732 62kk+=+Z，即2 3k=+.因为0，所以3=，0k=.8/11 所以()2sin(2)3f xx=+.6 分（）由题意得2()sin(4)3g xx=+.函数sinyx=的单调递减区间为32,2 22kk+()kZ 由23242232kxk+，得5242242kkx+.因为函数()yg x=在区间0,m上单调递减
16、，且5024 24,，此时0k=.所以524m，所以m的最大值是524.13 分（18）（共 14 分）解：（）设这个区域降雨量在 135毫米以上为事件A，区域降雨量在 135 毫米以上的区域共有 6 个，所以63().105P A=答：这个区域降雨量在 135 毫米以上的概率为3.5 4 分（）由题意分析可知0,1,2X=，38310C567(0)=12015CP X=，2182310C C567(1)=12015CP X=，1282310C C81(2)=12015CP X=.随机变量X的分布列为:所以随机变量X的数学期望为:7713()0+1+21515155E X=.11 分（）222213sss.14 分（19）（共 15 分）解：（）当0a=时，2()e(1)xf xx=+，2()e(21)xfxxx=+，所以(0)1f=，(0)1f=，所以切线方程为1yx=+.4 分 XX 00 11 22 P 715 715 115 9/11（）由2()e(1)xf xxax=+，得2()e(2)1xfxxaxa=+.令()0fx=，得11xa=，21x=.若12xx，则0a，()0f
