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1、初中数学共定点等边三角形六大结论及应用，寒假复习必备！【一】已知：如图ABC、CDE都是等边三角形 AD、BE相交于点O 点M、N分别是线段AD、BE的中点(1)求DOE的度数；解：ABC、CDE都是等边三角形 ACBC CDCE ACBDCE60 ACBBCDDCEBCDACDBCE在ACD和BCE中，ACBC，ACDBCE，CDCEACDBCEADBE ADCBEC 等边三角形DCECEDCDE60ADEBEDADCCDEBEDBEC60BEDCED606060120AOE=120DOE180-AOE=60(2)试判断MNC的形状,并说明理由；MNC是等边三角形理由如下：ACDBCECAD
2、CBE ADBE ACBC点M、N分别是线段AD、BE的中点AM1/2AD BN1/2BE AMBN在ACM和BCN中ACBC，CAMCBN，AMBNACMBCNCMCN，ACMBCN ACB60ACMMCBBCN+MCB=ACB=60MCN60MNC是等边三角形(3)连接OC，求证：OC是AOE的平分线解：连接OC 过C作CGA，垂足为G；过C作CHBE，垂足为HACDBCEADBE，SACD=SBCE 1/2ADCG=1/2BECHCGCHCGAD CHBE OC是AOE的平分线【二】已知如图ABC是锐角三角形 分别以边AB、AC为边向外作ABD和ACE，ABD和ACE均为等边三角形，且B
3、E和CD交于点F 连接AF（1）求证：ACDAEB；解：ABD和ACE均为等边三角形DAB=EAC=60，AE=AC，AB=AD，BAC+DAB=BAC+EAC,即DAC=EAB在三角形ABD和ACE中AE=AC，DAC=EAB，AB=AD,ACDAEB（SAS）；（2）求出CFE的度数；解：ACDAEBDAC=EAB,点A、F、C、E四点共圆CFE=CAEACE均为等边三角形CAE=60CFE=60（3）求证：AFB=BFC=AFC.解：由（2）点A、F、C、E四点共圆 点A、F、B、D四点共圆FAC=FEC在AFE中AEF+CAE+FAC+AFE=180AEF+CAE+FEC+AFE=18
4、0即AEC+CAE+AFE=180AEC=CAE=60AFE=180-60-60=60同理可得AFD=60EFC=BFD，EFC=60BFD=60AFD+BFD=60+60=120AFE+EFC=60+60=120BFC=360-120-120=120AFB=BFC=AFC.【三】如图已知CAD与CEB都是等边三角形 BD、EA的延长线相交于点F（1）求证：ACEDCB解：CAD与CEB都是等边三角形 CBCE CDCA BCEDCA60 BCDECAACEDCB（SAS）；（2）求F的度数解：设BC与EF相交于G 由（1）可知ACEDCB121+BGF+F2+AGC+BCE180而BGFAG
5、CFBCE60；（3）若ADBD 请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系解：EFBD+2DF 理由如下：ADBD ADF90 F60 DAF30 AF2DF ACEDCB AEBD EFAE+AFBD+2DF【四】如图在等边ABC中 线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时 以CD为一边在CD的下方作等边CDE连结BE（1）当点D在线段AM上时（如图）则AD=BE（填“”“”或“=”）CAM=30度；解：ABC与DEC都是等边三角形 AC=BC CD=CE ACB=DCE=60 ACD+DCB=DCB+BCEACD=BCE在ADC和BEC中AC=BC，ACD=BCE，CD=CEA
6、CDBCE（SAS）AD=BE；ABC是等边三角形BAC=60线段AM为BC边上的中线CAM=1/2BAC CAM=30（2）当点D在线段AM的延长线上时（如图）直线BE与直线AM的交点为O，求AOB的度数；解：ABC和CDE都是等边三角形 AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60 ACD=ACB+DCB，BCE=DCE+DCB ACD=BCEACDBCE（SAS）CAD=CBEAMC=BMOAOB=ACB=60；（3）当动点D在线段AM的反向延长线上时 直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB的度数是否发生变化？若变化，请求出AOB的度数，若不变，请说明理由解：不变，理由如下：点D在线段MA的延长线上且ABC与DEC都是等边三角形AC=BC CD=CE ACB=DCE=60ACD+ACE=BCE+ACE=60ACD=BCE在ACD和BCE中AC=BC，ACD=BCE，CD=CE，ACDBCE（SAS）CBE=CAD同理可得：CAM=30CBE=CAD=150CBO=30，BAM=30 BOA=90-30=60
