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1、第 1 页/共 5 页2024 届高三第二次学情检测届高三第二次学情检测数学试题数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数i 1i2aa，Ra，则a（）A.1B.0C.1D.22.已知全集U R，集合2log10Axx，21Bxx，则（）A 2,UAB.BAC.UABD.,2AB 3.若 11 ln1xf xxax为偶函数，则a（）A.1B.0C.12D.14 向量1ab，3c 且0abc，则cos,ac bc（）A.131
2、4B.1314C.45D.455.“sincos0”是“22sinsin1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S（）A 120B.85C.85D.1207.已知sinsin13，则cos3（）A.12B.33C.23D.228.已知定义在R上的函数 f x满足 2fxf x ，且1x，21,x，12xx，12120f xf xxx若1x，2ln10fxafx恒成立，则 a 的取值范围为（）.第 2 页/共 5 页A.2,0B.2,C.2,D.12,2二、选择题：本题共二、选择题：
3、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知ab，则（）A.22ln1ln1abB.33abC.11abD.1122ab10.已知函数 2cos0,2f xx一个极大值点为 1，与该极大值点相邻的一个零点为1，将 f x的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 g x的图象，则下列结论正确的是（）A.2cos44f xxB.f x在区间6,9上单调递增C.g x奇函数D.若 g
4、x在区间1,a上的值域为2,2，则3a 11.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3ABC，内角B的平分线交AC于点D且3BD，则下列结论正确的是（）A.111acB.b的最小值是 2C.3ac的最小值是4 3D.ABC的面积最小值是312.定义在R上的函数 f x满足220,1f xfxfx 为偶函数，则（）A.110fxfx B.11fxfxC.4f xf xD.20230f三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知函数 22log,14,1xx xf xx，则12ff_的为第 3 页/共 5 页14.已知向量
5、(cos,2)a，(1,sin)b，且ab，则2sin22cos3_15.在锐角三角形ABC，2AB，且114,tantantanABC则AB边上的中线长为_16.已知直线l与曲线1exy和ln(1)yx都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程：_，_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设na是公比不为 1 的等比数列，1a为2a，3a的等差中项（1）求na的公比；（2）若11a，求数列nna的前n项和18.如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,3ABBCAA，平面1ABC
6、 平面11A ABB （1）求证：ABBC；（2）求二面角1AACB的正弦值19.已知函数22()cos2 3sin cossinf xxxxxm的最大值为 1.（1）求常数 m 的值；（2）若0125xf，00,3x，求0cos2x的值.20.已知数列 na的前n项积为nT，且1nnaT.（1）求证：数列1nT是等差数列；（2）证明：321211234nnnaaaaaaaaa.21.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bc ac.第 4 页/共 5 页（1）若3B，求ac的值；（2）若ABC是锐角三角形，求23sin2cosBC的取值范围.22.已知函数21()(1)ln(
7、1),()2f xxxg xaxx（1）求证：121fxx；（2）若函数()()()h xf xg x在(0,)上存在最大值，求a的取值范围第 1 页/共 21 页2024 届高三第二次学情检测届高三第二次学情检测数学试题数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数i 1i2aa，Ra，则a（）A.1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.【详解】解：由题意，222i 1ii+i
8、i21i220iaaaaaaa ，22210aa，解得：1a .故选：A.2.已知全集U R，集合2log10Axx，21Bxx，则（）A.2,UAB.BAC.UABD.,2AB【答案】C【解析】【分析】先求出集合,A B，再由交集，补集，并集的定义判断 A，C，D；由集合间的关系判断 B.【详解】由22log10log 1x，则01 1x，解得：12x，所以12Axx，由21x可得210 x，即20 xx，则200 x xx，解得：02x，故02Bxx，故 B 错误；故UA1x x或2x，故 A 错误；UB0 x x或2x，AUB，故 C 正确；第 2 页/共 21 页0,2AB，故 D 错
9、误.故选：C.3.若 11 ln1xf xxax为偶函数，则a（）A.1B.0C.12D.1【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可【详解】由101xx，得1x 或1x ，由()f x是偶函数，()()fxf x，得11(1)ln(1)ln11xxxaxaxx ，即11(1)ln(1)ln11xxxaxaxx，即111(1)ln()(1)ln11xxxaxaxx，则11(1)ln(1)ln11xxxaxaxx，由于1ln1xx不恒为 0，所以11xaxa，得1a，故选：D4.向量1ab，3c 且0abc，则cos,ac bc（）A.1314B.131
10、4C.45D.45【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得222122cabcaba ba b，又2,2acab bcba，所以2222222225213cos,14774444ababaa bbac bcaa bbba ba.第 3 页/共 21 页故选：A5.“sincos0”是“22sinsin1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念，结合三角恒等式即可得结果.【详解】若sincos0，则sincos，所以2222sinsincossin1，即充分性
11、成立；若22sinsin1，则22sincos，即sincos，所以sincos0不成立，所以“sincos0”是“22sinsin1”的充分不必要条件，故选：A.6.记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S（）A.120B.85C.85D.120【答案】C【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前 n 项和公式求出公比，再根据48,SS的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前 n 项和的性质求解【详解】方法一：设等比数列 na的公比为q，首项为1a，若1q ，则405S ，与题意不符，所以1q ；若1q，则611263 230SaaS，与题意不符，所以1q；由45
12、S ，6221SS可得，41151aqq，6211112111aqaqqq，由可得，24121qq，解得：24q，所以8S 8411411151 168511aqaqqqq 第 4 页/共 21 页故选：C方法二：设等比数列 na的公比为q，因为45S ，6221SS，所以1q ，否则40S，从而，2426486,S SS SS SS成等比数列，所以有，22225215SSS，解得：21S 或254S，当21S 时，2426486,S SS SS SS，即为81,4,16,21S，易知，82164S ，即885S ；当254S 时，2241234122110SaaaaaaqqS，与45S 矛盾
13、，舍去故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,SS的关系，从而减少相关量的求解，简化运算7.已知sinsin13，则cos3（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【解析】【分析】已知等式利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得3sin63，再利用诱导公式求cos3的值.【详解】由1333sinsinsinsincossincos3sin1322226，得3sin63，所以3coscossin.36263故选：B第 5 页/共 21 页8.已知定义在R上函数 f x满足 2fxf x ，且1x，21,x，12xx，12120f
14、xf xxx若1x，2ln10fxafx恒成立，则 a 的取值范围为（）A.2,0B.2,C.2,D.12,2【答案】B【解析】【分析】由 2fxf x 得到 f x的图象关于点1,0对称，再由1x，21,x，12xx，12120f xf xxx得到 f x在1,上单调递增，再将2ln10fxafx，转化为ln12fxfxaf xa，从而有ln1xax，即ln1axx，1x，然后令 ln1h xxx，1x，用导数法求得其最大值即可.【详解】解：由 2fxf x ，得 20fxf x，故 f x的图象关于点1,0对称因为1x，21,x，12xx，12120f xf xxx所以 f x在1,上单调
15、递增，故 f x在,上单调递增，因为2ln10fxafx，所以ln12fxfxaf xa，所以ln1xax，即ln1axx，1x 令 ln1h xxx，1x，则 12111xh xxx 当12x时，0h x，h x单调递增，当2x 时，0h x，h x单调递减，所以 max22h xh，所以2a 故选：B二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.的第 6
16、页/共 21 页9.已知ab，则（）A.22ln1ln1abB.33abC.11abD.1122ab【答案】BD【解析】【分析】根据对数函数lnyx的单调性及取特殊值1a ，2b ，即可判断 A；根据幂函数3yx的单调性即可判断 B；取特殊值1a，1b=-即可判断 C；根据指数函数12xy的单调性即可判断 D【详解】对于 A，由函数lnyx在0,上单调递增，又ab，不妨取1a ，2b ，此时2211ab，所以22ln1ln1ab，故 A 错误；对于 B，由函数3yx在 R 上单调递增，又ab，所以33ab，所以 B 正确；对于 C，由ab，不妨取1a，1b=-，此时11ab，故 C 错误；对于 D，由函数12xy在 R 上单调递减，又ab，所以1122ab，故 D 正确故选：BD10.已知函数 2cos0,2f xx的一个极大值点为 1，与该极大值点相邻的一个零点为1，将 f x的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 g x的图象，则下列结论正确的是（）A.2cos44f xxB.f x在区间6,9上单调递增C.g x为奇函数D.若 g x在区间1,a上的值域为2,2，则3a【答案】
