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1、黑龙江省安达市田家炳高级中学2023-2024学年数学高二上期末调研试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）A.B.C.D.2已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.3若直
2、线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交4已知圆过点，且圆心在轴上，则圆的方程是（）A.B.C.D.5的展开式中的系数是（）A.1792B.C.448D.6已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限，B关于原点对称，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（）A.椭圆M的离心率为B.椭圆M的离心率为C.D.7连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情
3、况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）A.只有2次出现反面B.至多2次出现正面C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面8在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，点在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.9加斯帕尔蒙日（图1）是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3B.4C.5D.610函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.11 “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必
4、要条件D.既不充分也不必要条件12在空间四边形中，且，则（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式_.14已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点若，则_15在公差不为的等差数列中，成等比数列，数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求16在空间直角坐标系中，已知，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在数列中，且.（1）证明；数列是等比数列.（2）若，求数列的前n项和.18（12分）如图，在梯形
5、中，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段含端点上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.19（12分）已知等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.20（12分）长方体中，点分别在上，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.21（12分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值22（10分）已知直线l经过两条直线2xy30和4x3y50交点，且与直线x+y20垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，
6、求圆C的标准方程参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B2、B【解析】根据题意得到，根据，化简得到，进而得到离心率的不等式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的左顶点为，上顶点为，所以，因为，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因为椭圆的离心率，所以，即椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】求解椭圆或
7、双曲线离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.3、D【解析】设直线与点确定平面，由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形，画图说明即可.【详解】点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可得，故直线与平面相交或平行.(1)若直线与平面相交（如图1），记，若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线.（2）若直线与平面平行（如图2），则不存在过点且与直
8、线，都相交的直线.综上所述，过点至多有一条直线与直线，都相交.故选：D.4、B【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为点，在圆上，所以，解得，所以圆的方程是.故选：B.5、D【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】的展开式中，含的项为.所以的系数是.故选：D6、C【解析】设出点，,的坐标，将点，分别代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.【详解】设，则，两式相减并化简得，即，则,则AB错误；，又，即，解得，则点在轴上，且
9、为的中点即，则正确.故选：C.7、D【解析】根据对立事件的定义即可得出结果.【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为0次或1次出现正面，即“有2次或3次出现反面”故选：D8、C【解析】取AC的中点M，过点M作，且使得，进而证明平面，然后判断出是与平面所成的角，最后求出答案.【详解】如图，取AC的中点M，因为，则，过点M作，且使得，则四边形BDNM是平行四边形，所以.由题意，平面ABC，则平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，连接DA,NA，则是与平面所成的角.而，于是，.故选：.9、A【
10、解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A10、A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项
11、11、A【解析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的定义即得.【详解】若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则；所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.故选：A.12、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】.故选:A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、#【解析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.14、7【解
12、析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有，又，所以.故答案为：15、（1）（2）【解析】（1）由解出，再由前项和为55求得，由等差数列通项公式即可求解；（2）先求出，再由裂项相消求和即可.【小问1详解】设公差为，由，成等比数列，可得，即有，整理得，数列的前项和为55，可得，解得1，1，则；【小问2详解】，则16、或#或【解析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.【详解】，且，设，解得，或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过
13、程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】，又，数列是首项为0，公差为1的等差数列，从而，数列是首项为2，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知，则，.18、（1）证明见解析（2）点与点重合时，二面角的余弦值为【解析】（1）先利用平面几何知识和余弦定理得到及各边长度，利用线面平行的性质和判定定理得到线面垂直，再利用线线平行得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，得到相关向量的坐标，利用平面的法向量夹角求出二面角的余弦值，再通过二次函数的最值
14、进行求解.【小问1详解】证明：在梯形中，因为，又因为，所以,，所以，即，解得，所以，即.因为平面，平面，所以，而平面平面，所以平面.因为，所以平面.【小问2详解】解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系（如图所示），设，则，所以，设为平面的一个法向量，由得，取，则，又是平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以因为，所以当时，有最小值为，所以点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，即数列为等比数列，所以数列的前n项和.20、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由
