《高三数学 经典例题精解分析 3-2第3课时 空间向量与空间角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学 经典例题精解分析 3-2第3课时 空间向量与空间角（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时 空间向量与空间角双基达标(限时20分钟)1若平面的法向量为，直线l的方向向量为v，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是 ()Acos Bcos Csin Dsin 解析若直线与平面所成的角为，直线与该平面的法向量所成的角为，则90.答案D2设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为 ()A. B. C. D.解析线面角的范围是0，答案C3三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角A BD C的大小为 ()A. B. C.或 D.或解析只需搞清二面角的范围是0，答案C4如图，在正方体ABCDA1B
2、1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，(1，x1，2)，(2，0，1)所以0，所以直线BM与OP所成角为.答案5已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析(1，2，0)，(1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由n0，n0知令x2，则y1，z.平面ABC的一个法向量为n(2，1，)平面xOy的一个法向量为(0，0，3)由此
3、易求出所求二面角的余弦值答案6如图所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，(，1，)，(，1，)cos，.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.综合提高（限时25分钟）7在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是 ()A30 B45 C60 D90解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，0)，(1
4、，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以cos，n，所以n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30.答案A8如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为 ()A. B.C. D.解析如图所示，连接AC，ACBDO，连接OF.以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD.所以B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，D(，0，0)结合图形可知，(0，0)且为面BOF的一个法向量，由(，
5、0)，(，0，)，可求得面BCF的一个法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.答案D9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是_解析建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，(1，0，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，设平面A1BD的一个法向量为n(1，x，y)，设平面A1BD与BC1所成的角为，n，n，所以n0，n0，所以解得所以n(1，1，1)，则cos，n，所以sin ，所以cos .答案10正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解
6、析取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标系设BC1，则A(0，0，)，B(0，0)，D(，0，0)所以(0，0，)，(0，)，(，0)由于(0，0，)为平面BCD的法向量设平面ABD的法向量n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，sinn，.答案11如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点求BD与平面ADMN所成的角.解如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)则N(1，0，1)，(2，
7、2，0)，(0，2，0)，(1，0，1)，设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由得取x1，则z1，n(1，0，1)，cos，n，sin |cos，n|.又090，30.12(创新拓展)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCFCEF90，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？解建系如图，设ABa，BEb，CFc，则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(，0，a)，E(，b，0)，B(，0，0)，(1)证明(，b，0)(，0，a)(0，b，a)，(0，0，a)，(0，c，0)，设，则(0，b，a)(0，c，a)，1，又AE平面DCF，AE面DCF.(2)(，cb，0)，(，b，0)且0，|2.所以解得b3，c4，所以E(，3，0)，F(0，4，0)设n(1，y，z)与平面AEF垂直，则n0，n0，解得n(1，)又因为BA平面BEFC，(0，0，a)，所以cosn，得到a，所以当AB为时，二面角A EF C的大小为60.
