高中数学训练

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1、导数知识点考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景(2)理解导数的几何意义(3)掌握函数的导数公式(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.知识要点y =f(x)1.导数的几何意义：函数y =/(x)在点X。处的导数的几何意义就是曲线y=/(x)在点(x()(x)处的切线的斜率，也 就 是 说，曲 线y=/(x)在 点 户(x o，/(x)处 的 切 线 的 斜 率 是f&o),切线方程为y-y o =/,a)(x-x0).2 .导数的四则运算法则：(MV)=

2、u+v=y=fl(x)+f2(x)+.+fn(x)=y =fi(x)+f2(x)+.+fn(x)(w v)=V U+v M =(cv)=c v+cv=cv(c 为常数)3,函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y =/(x)在某个区间可导,如果/(x)0,则 y =/(x)为增函数；如果f(x)V O,则 y =/(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y =/(x)在区间/恒有/*)=0,则 y =/(x)为常数.4 .极值的判别方法：(极值是在与附近所有的点，都有/(x)0,右侧尸(x)V 0,那么/(X o)是极大值；如果在X。附近的左侧f (x)0,那么/(x o)是极小值.也就是说

3、与是极值点的充分条件是x o 点两侧导数异号，而不是/(x)=0 Q 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).注：若点出是可导函数/(x)的极值点，则/(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点X。是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y =/(x)=x 3,x=O 使/(x)=0,但x=O 不是极值点.例如：函数y =.x)=|x|,在点x=O 处不可导，但点x=O 是函数的极小值点.5 .极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区

4、间上对函数值进行比较.6 .几种常见的函数导数：I.C =0 (C 为常数)1(sin%)=cosx(x )(eR)(cosx)=-sinxI I.(I n x)=X.1(l o&x)=T o&eX(ax)-ax I n a1、(卷)函数/(x)=x 3 3/+1是减函数的区间为()(A)(2,+o o)(B)(-0 0,2)(C)(-0 0,0)(D)(0,2)2.(全国卷I)函数/0)=丁+。/+3%一9,已知/(x)在x =-3时取得极值，则。=()(A)2 (B)3 (C)4 (D)53.(卷)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于加点中，坐标为整数的点5.()函 数 尸 的 图 象 与

5、直 线y=x相 切，则a=()(A)-(B)-(C)-(D)l8 4 26 .(卷)曲 线y f在 点a/)处 的 切 线 与*轴、直 线x 所围成的三角形的面积为 8/3 o7 .(卷)(1 4)曲线3/=丁+1在 点(1,3)处的切线方程是y =4 x-l8 .(全国卷I I I)曲线y =2 x-%3在 点(1,1)处的切线方程为x+y-2=09.（北京卷）过原点作曲线尸/的切线，则切点的坐标为一（1,e）;一,切线的斜率为高中数学专题训练一二次函数与嘉函数一、选择题1 .“a=l”是“函 数f（x）=*-2 a x+3在区间 1,+8）上为增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充

6、分条件C.充 要 条 件D.既不充分也不必要条件答 案A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若 函 数f（x）=/2 a x+3在区间 1,+8）上为增函数，则有对称轴x=a W l,故 a=l”是“函数f（x）=x 2-2 a x+3在区间 1,+8）上为增函数”的充分不必要条件.2 .一次函数y=a x+b与二次函数y=a?+b x+c在同一坐标系中的图象大致是（）B答 案C解析 若a 0,A不符合条件，若 水0,D不符合条件，若 力0,对B,.对b称轴一ro,不符合，选c.a3.函数y=x （xl）的图象如图所示，。满足条件（）A.o 1B.-K 00C.0 a 1答

7、案C解 析 类比函数y=8即可.4.若函数 f(x)=a*+c 满足 A 4)=A 1),那么()A.A2)/(3)B.A3)/(2)C.f(3)=A2)D.f(3)与/1(2)的大小关系不确定答 案C解析=f(l)5.对称轴为5,./(2)=/,(3).5.已知函数y=f 2 x+3在闭区间0,加上有最大值3,最 小 值2,则加的取值围是()A.1,+8)B.0,2 C.1,2 D.(8,2 答 案C解析 由函数的单调性和对称轴知，选C.6.(2 010,卷)设abc 0,二次 函 数f(力 ax+bx+c的图象可能是答 案D解析 若a 0,b0,c 0,函数/1(x)的图象与y轴的交点(c

8、,0)在x轴 下 方.故 选D.7.已知 f(x)=a?+2 a x+4(0a 3),若 水 应，入+加=1-a,则()A.B.rUX/U)C.f(x)=f(x?D.f(x j与f(x)的大小不能确定答 案B解析 解 法1：设4(为，*为)，尔尼，/U J),.江，又对称轴X=-1,二4？中点在对称轴右侧.(荀)故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知).解法 2：作差 f(x i)f(x。=(a x；+2 a x i+4)a+2 ax2+)=&(为一也)(为+及+2)=(为一而)(3 a)又 0a 3,A Ax,)-f(%2)0,即/(%)AX2),故选 B.二、

9、填空题8 .已知 y=(c o s x a)1,当 c o s x=-1 时 y取最大值，当 c o s x=a 时,y取最小值，则a的围是.a 0解 析 由题意知 1,、一1W a W 19 .抛物线y=8*(勿一1)X+R7的顶点在x轴上，则勿=.答 案9或2 5解析 y=8(x _ )+/一7 8 顶点在 x轴.加 一7 8 ,44=0,.*./?=9 或 2 5.1-X210.(2 010 调 研)设 函 数 (x)XA=3/;(五(20 1 0)=.答案 乐 2 010解析 6(2 010)=2 01()2 (2 0 1 02)=(2 0 1 02)-1=2 0 1 0-2f (2

10、010-2)=(2 010-2)之=2 01()7=嬴11.在函数F(x)=a V+6 x+c中，若a,b,c成等比数列且F(0)=4,则f(x)有最 值(填 大 或“小”),且该值为.答 案 大 一3解析 /(0)c=4,a,b,c 成等比，a c,a 0,1 2 m-三、解答题2714.已知函数fx)=x,且f(4)=一 刀(1)求力的值；(2)判断/(*)在(0,+8)上的单调性，并给予证明.答案(2)递减7解 析(1)F(4)=-J，2(2)f(x)=-x 在(0,+8)上单调递减，证明如下：x任取0 为 生，则29f(3)一fix。=(-z.)(一 吊)M&9=(也 一/)(+1).

11、XXz2,.00,+10.为总.,(为)F(X 2)0,:.f(x)F(X 2),2即 f(x)=一-才在(0,+8)上单调递减.X15.(2011 省实验中学)已知对于任意实数x,二次函数 M=/-4 a%+2a+12(aR)的值都是非负的,求函数g(a)=(a+都(|a1+2)的值域.答 案 一9*9解由条件知/W 0,即(-4a)2-4(2a+12)W0,3WaW2.当一时，g(a)=(a+1)(a+3)=a+2a+3=(a1)2+4,.,.由二次函数图象可知，9Wg(a)2 6x+5)在(a,+8)上是减函数，则a 的取值围是()A.(8,1 B.(3,+0)C.(8,3)D.5,+8

12、)答 案 D解 析/(x)的减区间为(5,+-),若 F(x)在(a,+8)上是减函数，则a 2 5,故选D.2.设 6 0,二次函数y=aM+6x+a21 的图象为下列图象之一，则 a 的值为（）A.1 B.-1-l一乖 1+乖2 U，2答 案B解 析.力（）,.不是前两个图形，从 后 两 个 图 形 看-枭0,故应是第3个图形.:过 原 点，.&2 1=0.结合水0.）.13=1.3.k O 於如图所示，是二次函数y=a?+A x+c的图象，贝 0 6等于（）C.-D.无法确定a答 案B解析|力,0 B=0 A*OB=xx；=-=-(V a 0).a a4.已知函数f(x)=/2 x+2的

13、定义域和值域均为 1,b,则8=()A.3 B.2 或 3C.2 D.1 或 2答 案C解 析 函数在 1,+8)上单增.6=炉-26+2解之得：6=2或1(舍).5.函 数y=必一2ax(0 xW l)的 最 大 值 是配,则 实 数a的取值围是)A.O W aW l B.0 W aW 2C.-2 WW0 D.KWO答 案D解析 f(x)=2 2ax=(x+a)2+a2若f(x)在 0,1 上最大值是a2,则 O W a W l,即一i W a W O,故选 D.1.若二次函数 f(力满足/1(x+1)fx)=2x,/(o)=1,贝 f(x)=答案 X-X-1解析 设/V)=&/+c,.(0

14、)=1,c=1,f(x+l)f(x)=2ax+a+b=2 xa=1,b .fx)=x x+l.2.若函数f(x)=(a-l)f+3-l)x+l 是偶函数，则在区间 0,+8)上M是()A.减函数B.增函数C.常函数D.可能是减函数，也可能是常函数答 案 D解 析函数f(x)是偶函数，：.才 一 1=0当a=l 时，f(x)为常函数当a=l 时，f(x)=4+1在 0,+8)为减函数，3 .已知/(x)=(xa)(x-2(a Z?),并且 a、个根(a ),则实数a、b、a、的大小关系可能是(A.a ab 0 B.a a 仪 bC.a ab3 D.aaj3b答 案 A解析 设 g(x)=(xa)

15、(x，则 fx)=g(x)2,的图象，如图所示，可 得aab c f(-l)B.Al)c A-l)c D.A 1)A-1)/(0)/(1),而 f(O)=c,所以 f(l)V c V F(-1).5.对一切实数x,若不等式x+(a1)1+1 2 0 恒成立，则 a 的取值围是A.a 1 B.a20C.aW3 D.aWl答 案 A解析 令匕=*2 o,则原不等式转化为/+(a 1)1+1 2 0,当 时 恒 成立.令 f()=#+(a-1)5+1 则 f(0)=l0a1(1)当一WO即al 时恒成立(2)当0即水1 时.乙由 /=(a1)4W0 得一.二 一1W水1综上：己 2 1.6.若二次函

16、数fx)=a+bx+c 满 足 V(xi)=f(x2),贝 U (乂 +吊)等于答 案 c解析 .(X 2)=F(X),：.x2+xx=-,：.fx.+A 2)=/(-)=c.a a高中数学专题训练一变化率与导数一、选择题1.若/(吊)=aW0,则 li m -+;-=()4LO A XA.a B.-a答 案 A2.(2010 调研)已知函数/(x)=cosx+In x,则 f (1)的值为()A.sinl-1 B.1 sinlC.1 +sinl D.-1-s in l答 案 c解 析,：f(x)=cosx+Inx,/.f(A T)=+sinx,.f(1)=l+sinl.x3.若 曲 线 y=f(x)在点(为，Ax。)处的切线方程为2x+y 1=0,则()A.f(%)0 B.f(Xo)0C.f U)=0 D,f (版)不存在答 案 B解 析 切线方程为y=2 x+l,U)=-2 0),所 以 曲 线y=x$在点(a,a5)处的乙 乙 乙 乙1 3 1 1切线/的斜率A=y L=a=一谖一5，由点斜式得切线/的方程为y a5=-j a乙 乙 乙 乙3 3 15(xa),易 求 得 直 线