《【高考数学 特色题型汇编】第48讲 平面解析几何解答题——轨迹方程问题（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高考数学 特色题型汇编】第48讲 平面解析几何解答题——轨迹方程问题（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面解析几何解答题轨迹方程问题1抛物线的焦点为F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当与x轴垂直时，的面积为1.(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B都在抛物线C上，且，过坐标原点O作直线的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方程.2已知双曲线的离心率，且经过点.(1)求双曲线C的方程；(2)设A，B在C上，过P点向引垂线，垂足为M，求M点的轨迹方程.3已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，以为切点分别作抛物线的两条切线交于点.(1)若线段的中点的纵坐标为，求直线的方程；(2)求动点的轨迹.4已知圆C与y轴相切，圆心C在直线上且在第一象限内，圆C在直线上截得的弦长为.(1)求圆C的方程；(2)已知线段M
2、N的端点M的横坐标为-4，端点N在（1）中的圆C上运动，线段MN与y轴垂直，求线段MN的中点H的轨迹方程.5已知圆O：x2+y24与x轴交于点，过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，N是MH的中点，记N的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，设直线AP，AS的斜率分别为k1，k2.证明：k14k26已知点，点A满足，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线距离的取值范围.7在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，是动点，且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已
3、知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.8如图，设点A，B的坐标分别为，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.(1)求P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C，点MN是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求MON的面积.9在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)过点且斜率大于的直线交于两点，点，连接、交直线于、两点，证明：点在以为直径的圆上10已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.（1）若点P运动到（2，3）处，
4、求此时切线l的方程；（2）求满足条件的点P的轨迹方程.11已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线、分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：.(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.12已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程13在平面直角坐标系中，C是满足的一个动点（1）求垂心H的轨迹方程；（2）记垂心H的轨迹为，若直线l：（）与交于D，E两点，与椭圆T：交于P
5、，Q两点，且，求证：14在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，平面内两点，同时满足以下3个条件：是三条边中线的交点；是的外心；（）求的顶点的轨迹方程；（）若点与（）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围15已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为（1）若直线过焦点，且，求的值；（2）已知点，记直线，的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程参考答案：1(1)(2)【分析】（1）根据的坐标可求面积，从而可得，故可得抛物线的方程.（2）可证直线过定点，从而可得垂足的轨迹方程.(1)当与x轴垂直时，故，故，故抛物线的方程为：.(2)设，直线，因为，故，整理得
6、到：，故.由可得，故即，故直线，此直线过定点.因为，故的轨迹为以为直径的圆，其方程为：即.因为直线与轴不重合，故不为原点，故的轨迹方程为：.2(1)(2)（去掉点P）【分析】（1）由双曲线的离心率可知，故双曲线的方程为，将点代入方程即可求解；（2）由已知得，当直线斜率不存在时，不满足题意，故设直线的方程为，将直线和双曲线联立由韦达定理可知，由，可知，即，分类讨论即可求解.(1)双曲线的离心率，即，将代入，即，解得，故双曲线C的方程为；(2)当直线斜率不存在时，不满足，故不满足题意；当直线斜率存在时，设，代入双曲线方程整理得：.，则，即，整理得，即，当时，过点，不符合题意，故，直线化为，恒过定点
7、，M在以为直径的圆上且不含P点，即M的轨迹方程为（去掉点P）.3(1)(2)【分析】（1）联立直线与抛物线，根据韦达定理及中点求出k即可；（2）写出圆的切线方程，根据P是交点可得是方程的两根，由（1）中代入化简即可求出.(1)依题意有：直线的斜率必存在，故可设直线的方程为由可得：.设，则有于是：，解得，故直线的方程为(2)设，对于抛物线，于是：点处切线方程为，点在该切线上，故，即.同理：点坐标也满足于是：是方程的两根，所以又由（1）可知：，于是，消k得，于是的轨迹方程为，点的轨迹是一条直线.4(1)(2)【分析】（1）设所求圆C的方程为.由圆的几何性质建立方程组，求解可得圆的方程；（2）设点H
8、的坐标为，点N的坐标为，由中点坐标公式得，代入已知圆的方程中可得所求的轨迹方程.(1)解：依题意，设所求圆C的方程为.所以圆心到直线，则有，即.由于圆C与y轴相切，所以.又因为圆C的圆心在直线上，所以.联立，解得，故所求圆C的方程为.(2)解：设点H的坐标为，点N的坐标为，点M的坐标为，因为H是线段MN的中点，所以，于是有，.因为点N在第（1）问中圆C上运动，所以点N满足.把代入，得，整理，得.此即为所求点H的轨迹方程.5(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）运用相关点法即可求曲线C的方程；( 2)首先对直线的斜率是否存在进行讨论,再根据几何关系分别求出P、Q、S三点的坐标，进而表示出直线A
9、P， AS的斜率，再根据斜率的表达式进行化简运算,得出结论.(1)设N（x0，y0），则H（x0，0），N是MH的中点，M（x0，2y0），又M在圆O上，即；曲线C的方程为：；(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，若点P在轴上方，则点Q在x轴下方，则，直线OQ与曲线C的另一交点为S，则S与Q关于原点对称，；若点P在x轴下方，则点Q在x轴上方，同理得：，k14k2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，由与联立可得，其中，设，则，则，则，k14k2.6(1)；(2).【分析】（1）根据已知等式，结合平面两点距离公式进行求解即可；（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与
10、系数关系、根的判别式，结合圆的几何性质进行求解即可.(1)设，因为，所以，平方化简，得；(2)直线与双曲线：的方程联立，得，设，所以有且，所以，因为，所以，化简，得，把，代入，得，化简，得，因为且，所以有且，解得，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以点A到直线距离的最大值为，最小值为，所以点A到直线距离的取值范围为，【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合直角的性质得到等式是解题的关键.7(1)(2)【分析】（1）根据直线与的斜率之积列方程，化简求得动点的轨迹的方程.（2）利用向量的坐标运算，由得到，联立直线与椭圆：，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于的不等式，并由此求
11、得的取值范围.(1)设，则，所以可得动点P的轨迹C的方程为.(2)设又，由得， 联立可得，即，且， 又，则，代入得，解得.的取值范围是8(1)(2)【分析】（1）设点的坐标为，根据列方程化简即可求解；（2）设直线的方程为，的坐标分别为，联立方程，得根与系数的关系，根据可得，代入三角形面积公式即可化简求值.(1)由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为(2)证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知.因为，所以设直线的方程为，代入椭圆方程，得.，设的坐标分别为，则又，所以，得又，所以，即的面积为定值.9(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，由已知可得，化简
12、可得曲线的方程；（2）设、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出、，计算出，即可证得结论成立.(1)解：设，由题意得，化简得，所以曲线的方程为(2)证明：设、，设直线的方程为且，联立得，由韦达定理可得，因为点在直线上，则，即，可得，同理可得，所以，故点在以为直径的圆上10（1）x=2或3x-4y+6=0；（2）2x+2y-1=0.【分析】（1）按照直线的斜率是否存在分类讨论，当l的斜率存在时，设出的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求出斜率，从而可得切线的方程；（2）设P（x，y），利用可求出结果.【详解】（1）把圆C的方程化为标准方程为，圆心为C（1，1），半径r=1.当l
13、的斜率不存在时，此时l的方程为x=2，C到l的距离d=1=r，满足条件.当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，则，解得k=.l的方程为，即3x-4y+6=0.综上，满足条件的切线l的方程为x=2或3x-4y+6=0.（2）设P（x，y），则|PM|2=|PC|2-|MC|2=（x-1）2+（y-1）2-1，|PO|2=x2+y2，|PM|=|PO|.（x-1）2+（y-1）2-1=x2+y2，整理，得2x+2y-1=0，点P的轨迹方程为2x+2y-1=0.11(1)证明见解析；(2).【分析】(1)设：ya，：yb，求出A、B、P、Q、R的坐标，证明即可；(2)设直线AB与x轴的交点为D，AB中点为E，由求得，由即可求AB中点的轨迹方程.(1)由题意可知F，设：ya，：yb且ab0，A，B，P，Q，R，直线AB方程为2x(ab)yab0，点F在线段AB上，ab10，记直线AR的斜率为，直线FQ的斜率为，b，又ab10，ARFQ；(2)设：ya，：yb，A，B，设直线AB与x轴的交点为D，又，由题意可得，即 2，解得0(舍)或1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则，当AB与x轴不垂直时，由可得，即 (x1)，.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足.AB中点的轨迹方程为.12(1)，离心率为(2)
