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1、 高三数学试卷 第1页（共4页）唐山市20232024 学年度第一学期高三年级期末考试 数 学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
2、不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在复平面内，(12i)(2i)对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 M，N 满足 MNN，则 AMN BM CM N DM N 3圆 C1：x2y22x0 与圆 C2：x2y22x0 的公切线的条数为 A4 B3 C2 D1 4已知函数 f(x)sinx，x0，f(x2)m，x0满足 f()1，则实数 m 的值为 A 1 4 B 1 2 C1 D
3、2 5在正方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点中任取 4 个点，能构成正三棱锥的个数为 A16 个 B12 个 C10 个 D8 个 6已知函数 f(x)x lgxmx3是偶函数，则 m A3 B0 C1 D2 高三数学试卷 第2页（共4页）7已知函数 f(x)sinx(x(0，2)的图象与直线 ya(x1)有 3 个交点，则实数 a 的取值范围为 A(，0)B(1，0)C(，)D(，0)8已知双曲线：x2a2y2b21（a0，b0）的左、右焦点为 F1，F2，|F1F2|2a2，P 为双曲线右支上一点，PF2F1F2，PF1F2的内切圆圆心为 M，MF1P 与MF2P 的面积的差为
4、1，则双曲线的离心率 e A2 B3 C 3 D 5 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都为 2，M，N 分别是 AB，A1C1的中点，则 AMNAC BMNBC1 CMN 5 DMN平面 BCC1B1 10已知 m，n 都是正整数，且 mn，下列有关组合数的计算，正确的是 ACmnCnmn BCmn1Cm1n1Cm1n CmCmnnCm1n1 D(C0n)2(C1n)2(Cnn)2Cn2n 11已知函数 f(x)的
5、定义域为 R，则以下选项正确的是 A若 f(x1)f(x)，则 f(x2)f(x)B若 f(x2)f(x)，则 f(x1)f(x)C若 f(x2)f(x)，且 f(x)为奇函数，则 f(x4)f(x)D若 f(x2)f(x)，且 f(x4)f(x)，则 f(x)为奇函数 12数列an的通项公式为 an(11n)n，下列命题正确的为 Aan先递增后递减 Ban为递增数列 CnN，ane DnN，ane A1 C1 B1 A B C N M 高三数学试卷 第3页（共4页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a(x，3)，b(2，6)，若 a 与 b 共线，则实
6、数 x_ 14已知圆锥的侧面展开图是半径为 8 的直角扇形，则此圆锥的表面积为_ 15 已知抛物线 E：y24x，圆 M：(x1)2y21，过点 M 的直线 l 与 E 交于 A，B 两点，与圆 M 交于 C，D 两点（A，C 都在 x 轴上方），若|AC|BD|2 3，则直线 l 的斜率为_ 16 已知函数 f(x)cos(x)(0)，A，B 是直线 y 1 2与曲线 f(x)的两个交点，若|AB|的最小值为6，f(23)0，f(0)0，则 f(3)_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为
7、 a，b，c，3asinBacosBbc，（1）求 A；（2）设 AC 边的中线 BD 13，且 a2c228，求ABC 的面积 S 18（12 分）目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写 BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 BMI体重（单位：kg）身高2（单位：m2）中国成人的 BMI 数值标准如下表所示：为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了 90 名男职工、50 名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的 BMI 值，并进行分类统计，如右表所示：（1）参照附表，对小概率值 逐一进行独立性检验，依据检
8、验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的 的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的 BMI 值，发现其 BMI 值不低于 28由上表可知男女职工的肥胖率都为 0.1，以频率作为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小 附：2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，BMI 18.5 18.5，24)24，28)28 体重情况 过轻 正常 超重 肥胖 性别 BMI 合计 过轻 正常 超重 肥胖 男 10 60 11 9 90 女 15 25 5 5 50 合计 25 85 16 14 140 0.1 0.05 0.
9、01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高三数学试卷 第4页（共4页）19（12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，当 n2 时 anan11，n为奇数，2an1，n为偶数且 S31（1）求 a1，a2；（2）（i）当 n 为偶数时，求an的通项公式；（ii）求 S2024 20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，ABAD，BCAD，AD2AB2BC2，PC3，PEPD（01）（1）求证：CDPA；（2）若平面 PAC 与平面 EAC 夹角的余弦值为3 1717，求三棱锥 PACE 的体积 21（12 分）
10、已知椭圆 C：x2a2y2b21（ab0）的右焦点为 F(2，0)，点 M(6，1)在椭圆上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l：ykxm 与 C 相交于 A，B 两点，若直线 AF，BF 的倾斜角互补，求ABF面积的最大值 22（12 分）已知函数 f(x)exln(xm)m(mR)（1）若 m1，求函数 f(x)的极值；（2）若 f(x)有两个零点，求 m 的取值范围 B A C E P D 唐山市20232024 学年度第一学期高三年级期末考试 数学参考答案 一选择题（单选）：14DCAB 58CADA 二选择题（多选）：9CD 10ACD 11AC 12BD 三填空题：131 14
11、20 15 2 1632 四解答题：17解：（1）因为3asinBacosBbc，所以3sinAsinBsinAcosBsinBsinC，1 分 所以3sinAsinBsinAcosBsinBsin(AB)，2 分 得3sinAsinBsinBcosAsinB，3 分 因为 sinB0，所以3sinAcosA1，即 sin(A 6)1 2，4 分 所以 A 6 6或5 6(舍)，所以 A 3 5 分（2）在ABD 中，由余弦定理得：cosADBBD2AD2AB22BDAD，即 cosADB(13)2b24c22 13b2，6 分 在BDC 中，同理可得：cosBDC(13)2b24a22 13
12、b2，7 分 由 cosADBcosBDC0，得b222，解得 b2 8 分 在ABD 中，BD2AB2AD22ABADcosA，即 13c2b242cb2 1 2，整理得：c2c120，解得：c4 9 分 所以ABC 的面积 S 1 2bcsinA2 3 10 分 18解：（1）零假设为 H0：职工体重是否正常与性别相互独立，即二者没有关联 将分类统计表简化整理成 22 列联表，如下表所示 根据列联表中的数据，经计算得到 2140(30256025)2905055857001873.7434 分 3.7432.706x0.1；3.7433.841x0.05x0.01x0.005x0.001
13、经过对附表所给的小概率值 逐一进行独立性检验，发现 0.1 时，拒绝了零假设H0，而附表 的其余取值都不能拒绝零假设 H0因此，能认为职工体重是否正常与性别有关联，则 的一个值可以为 0.1 8 分（2）可能性不相同 设事件 A：职工为男职工，事件 B：职工为女职工，事件 C：职工体重情况为肥胖 P(A|C)P(AC)P(C)914014140914，P(B|C)P(BC)P(C)514014140514，10 分 P(A|C)P(B|C)因此，该职工为男职工的可能性要大 12 分 19解：（1）由 S31 得 a1a2a31，又 a22a1，a3a212a11，则 a10，a20 4 分（2
14、）（i）当 n 为偶数时，n1 为奇数，则 an2an1，且 an1an21，则 an2(an21)故 an22(an22)，则当 n 为偶数时，an2是一个等比数列，6 分 公比为 2，首项为 a22，特别要注意，an2 是第n2项，则 an2(a22)2n21，则 an2n22 8 分（ii）设 S奇a1a3a2023，S偶a2a4a2024，则 S奇12S偶，S2024S奇S偶32S偶 S偶a2a4a202422221012210122101321013，则 S202432S偶3(210121013)12 分 20解：（1）因为 PC平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PCCD 2
15、 分 取 AD 中点 M，连接 CM，因为 AMBC1，AMBC，所以 ABCM 是平行四边形，从而 CMAB12AD1，于是 CDAC 4 分 又 PCACC，所以 CD平面 PAC，因为 PA平面 PAC，所以 CDPA 5 分 性别 BMI 合计 不正常 正常 男 30 60 90 女 25 25 50 合计 55 85 140（2）如图，以 C 为原点，CM，CB，CP分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，3)，CA(1，1，0)，CP(0，0，3)，PEPD(，3)，CE CP PE(，33)，6 分
16、 由（1）可知，CD(1，1，0)为面 PAC 的一 个法向量 7 分 设 n(x，y，z)为面 EAC 的法向量，则 n CAn CE0，即xy0，xy(33)z0，取 x33，y33，z2，则 n(33，33，2)，8 分 依题意，|cosCD，n|CDn|CD|n|33|1121893 1717，9 分 得 23或 2（舍去）10 分 因为 PE23PD，所以 VPACE23VPACD23 11 分 所以三棱锥 PACE 的体积为23 12 分 21解：（1）由已知可得6a21b21，a2b24，1 分 解得 a28，b24，2 分 所以椭圆 C 的方程为x28y241 3 分（2）将 ykxm 代入x28y241，整理得(12k2)x24kmx2m280，（*）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24km12k2，x1x22m2812k2，4 分 因为直线 AF，BF 的倾斜角互补，所以 kAFkBFy1x12y2x220，5 分 即 2kx1x2(m2k)(x1x2)4m0，6 分 2k2m2814k2(m2k)4km12k24m0，整理得 m4k，7 分（*）
