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1、2023-2024学年新疆喀什地区英吉沙县高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，则直线AB的倾斜角为()A. 30B. 45C. 60D. 1202.以A(1,1)、B(2,1)、C(1,4)为顶点的三角形是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 以A点为直角顶点的直角三角形D. 以B点为直角顶点的直角三角形3.以A(1,3)，B(5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程()A. y=3x4B. y=3x4C. y=3x+4D. y=3x+44.在四棱锥PABCD中，底
2、面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=()A. 12a+32b+12cB. 12a12b12cC. 12a32b+12cD. 12a+32b12c5.如图，在正四面体ABCD中，AB,DA等于()A. 45B. 60C. 90D. 1206.若直线l1： 3x+y+1=0与直线l2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为()A. 30B. 60C. 120D. 1507.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB=14BC，则GB与EF所成的角为()A. 30B. 120C. 60D. 908.已知直线l：mx+y1=
3、0(mR)是圆C：x2+y24x+2y+1=0的对称轴，过点A(2,m)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为()A. 4B. 2 5C. 4 2D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若n=(2,3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A. n1=(2,3,1)B. n2=(200,300,100)C. n3=(2 5,3 5, 5)D. n4=(2,3,0)10.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是()A. 直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)B.
4、 直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)C. 平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D. 平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)11.下列各结论，正确的是()A. 直线xy1=0与两坐标轴交于A，B两点，则|AB|= 2B. 直线2xy=0与直线2xy 5=0之间的距离为 5C. 直线 3x+y2=0上的点到原点的距离最小为1D. 点A(1,1)与点B(2,0)到直线xy=0的距离相等12.已知圆C：(x1)2+(y1)2=169，直线l：kxy4k+5=0，kR.则下列选项正确的是()A. 直线l恒过定点B. 直线l与圆C的位置可能相交、相切和相离C. 直线l被圆C截得的最短弦长为1
5、2D. 直线l被圆C截得的最短弦长对应的k值为34三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1, 3,2),b=(x, 3,1)，若ab，则x= _ 14.直线3x+2y+a=0和直线3x2y+1=0的位置关系是_ (填相交、平行、垂直)15.点P(1,3)关于直线x+2y2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为_16.在平面直角坐标系xOy中，已知过点(10,0)的圆M与圆x2+y26x6y=0相切于原点，则圆M的半径是_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)已知a=(1,2,4)，b=(1,0,3)，c=(0,
6、0,2).求：(1)a(b+c)；(2)cosb,c18.(本小题12分)在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(1,3,1)，C(3,1,m)，若ABC是直角三角形，求m的值19.(本小题12分)已知直线l1：mx+4y=m+2和直线l2：x+my=m，试确定m的值或范围，使得：(1)l1与l2垂直；(2)l1与l2平行；(3)l1与l2相交20.(本小题12分)已知圆C：x2+y2=3，直线l过点A(2,0)(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；(2)线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程21.(本小题12分)已知点P(2,0)，圆C的圆心在直线xy5=0上
7、且与y轴切于点M(0,2)，(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 2，求直线l的方程22.(本小题12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求证：BNC1M；(2)求平面MNC1与平面NBC的夹角答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，直线AB的斜率k=4130=1，直线AB的倾斜角=45故选B由直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注
8、意合理地进行等价转化2.【答案】C【解析】解：A(1,1)、B(2,1)、C(1,4)，|AB|= (2+1)2+(11)2= 13，|AC|= (1+1)2+(41)2= 13，|BC|= (12)2+(4+1)2= 26，|AC|2+|AB|2=|BC|2，以A(1,1)、B(2,1)、C(1,4)为顶点的三角形是以A点为直角顶点的直角三角形故选：C先分别求出|AB|、|AC|、|BC|的长，再由勾股定理进行判断本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用3.【答案】A【解析】解：直线AB的斜率kAB=311(5)=13，则垂直平分线的斜率k=3，又线
9、段AB的中点为M(2,2)，所求直线方程为y2=3(x+2)，即y=3x4故选：A根据斜率公式结合垂直关系可求垂直平分线的斜率，以及中点坐标公式求线段AB的中点坐标，再结合直线的点斜式方程运算求解本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题4.【答案】C【解析】解：由于四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，所以BE=12(BP+BD)=12PB+12(BA+BC)=12PB+12BA+12BC=12PB+12(PAPB)+12(PCPB)=32PB+12PA+12PC=12a32b+12c故选：C根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平
10、行四边形法则得到BE=12(BP+BD)，而BD=BA+BC=(PAPB)+(PCPB)，即可求得BE的结果本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题5.【答案】D【解析】解：两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA的起点平移到A点处，因为BAD为正三角形，所以BAD=60，所以AB,DA=18060=120故选：D由正四面体的性质可得BAD为正三角形，所以BAD=60，即可解得向量所夹角度本题考查的知识要点：向量的平移运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题6.【答案】B【解析】解：直线l1： 3x+y+1=0的斜率为k1=
11、3，直线l1： 3x+y+1=0与直线l2的斜率互为相反数，直线l2的斜率k2= 3设l2的倾斜角为(0180)，则tan= 3，得=60故选：B由已知求得直线l1的斜率，进一步得到直线l2的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求得l2的倾斜角本题考查直线的倾斜角，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则G(0,0,1)，B(2,2,0)，E(2,2,1)，F(32,2,0)，GB=(2,2,1)，EF=(12,0,1)，设GB与EF所成的角为，则cos=|GBE
12、F|GB|EF|=|1+1|3 54=0，=90GB与EF所成的角为90故选：D：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出GB与EF所成的角的大小本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：mx+y1=0经过圆C的圆心(2,1)，求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值【解答】解：圆C：x2+y24x+2y+1=0，即(x
13、2)2+(y+1)2=4，表示以C(2,1)为圆心、半径等于2的圆由题意可得，直线l：mx+y1=0经过圆C的圆心(2,1)，故有2m11=0，m=1，点A(2,1)AC= 20，CB=R=2，切线的长|AB|= 204=4故选A9.【答案】ABC【解析】解：n2=100n，n1=n，n3= 5n,3013，n与n1，n2，n3均共线，与n4不共线，n1，n2，n3可以作为平面的法向量故选：ABC根据法向量的定义可解本题考查法向量的定义，属于基础题10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题求出BD1=(1,1,1)，能判断AB
14、；求出平面B1CD1的法向量判断C；根据法向量的概念判断D【解答】解：在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，BD1=(1,1,1)，直线BD1的方向向量为(,)(0)，故A正确，B错误；C(1,1,0)，B1(1,0,1)，CB1=(0,1,1)，CD1=(1,0,1)，设平面B1CD1的法向量n=(x,y,z)，则nCB1=y+z=0nCD1=x+z=0，取x=1，得n=(1,1,1)，故C正确；D(0,1,0)，CD=(1,0,0)，因为(1,0,0)(1,1,1)=10，则向量(1,1,1)与平面B1CD内的直线CD不垂直，故向量(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，故D错误故选AC11.【答案】ACD【解析】对于A，直线xy1=0与两坐标轴的交点A(0
