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1、河南省郑州市106中学2024届高三4月模拟考试数学试题理试题注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）A48B36C24D122若，则（ ）ABCD3已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A3BCD4已知等差数列的前项和为，则（ ）A25B32C35D405已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ）ABCD6过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则
3、该双曲线的标准方程可能为（ ）ABCD7过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）ABCD8下列选项中，说法正确的是（ ）A“”的否定是“”B若向量满足 ，则与的夹角为钝角C若，则D“”是“”的必要条件9已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）ABCD10已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）ABC8D611执行如下的程序框图，则输出的是（ ）ABCD12对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面
4、是关于这两位同学的数学成绩分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步其中正确的个数为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13实数，满足约束条件，则的最大值为_.14某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为_15已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上
5、移动时，的内心的轨迹方程为_16在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为证明：点在轴上18（12分）已知，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.19（12分）已知，证明：（1）；（2）.20（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数
6、.（参考数据：）21（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.22（10分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若函数，求证：恒成立.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。【题目详解】 ，故选C.【题目点拨】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。2、B【解题分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【题目详解】因为，
7、由诱导公式得，所以 .故选B【题目点拨】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.3、B【解题分析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，几何体的体积，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.4、C【解题分析】设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得【题目详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
8、即有故选：C【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题5、B【解题分析】由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【题目详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得，所以，即，由平面向量数量积定义可得，所以，而，即与的夹角为.故选：B【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.6、A【解题分析】直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可【题目详解】直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.故选：A【题目点拨】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考
9、查运算求解能力.7、D【解题分析】如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，结合、可求离心率.【题目详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.因为，故四边形为平行四边形，故.又双曲线为中心对称图形，故.设，则，故，故.因为为直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故选：D.【题目点拨】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.8、D【解题分析】对于A根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝
10、角或平角；对于C当m=0时，满足am2bm2，但是ab不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断【题目详解】选项A根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，因此A不正确；选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C当m=0时,满足am2bm2，但是ab不一定成立，因此不正确；选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.故选：D.【题目点拨】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.9、D【解题分析】由题知，又，代入计算可得.【题目详
11、解】由题知，又.故选：D【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.10、C【解题分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.【题目详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，则，设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：，则 当且仅当时，取等号.故选：C【题目点拨】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11、A【解题分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【题目详解】满足，执行第一次循环，；成立，执行第二次循环，；成立，执行第三次循环，；成立，执行第四次循环，；成立，执行第五次循环，；成立，
12、执行第六次循环，；成立，执行第七次循环，；成立，执行第八次循环，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【题目点拨】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.12、C【解题分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可【题目详解】甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，错误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故
13、不正确故选：C【题目点拨】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解题分析】画出可行域，根据目标函数截距可求.【题目详解】解：作出可行域如下：由得，平移直线，当经过点时，截距最小，最大解得的最大值为10故答案为：10【题目点拨】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.14、【解题分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值.【题目详解】根据茎叶图中的数据，得：甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；.故答案为：.【题目点拨】本题考查茎
14、叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.15、【解题分析】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为PF1F2的内心，求点I的轨迹方程解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，则.直线IF1与IF2的斜率之积：，而根据海伦公式，有PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，离心率e满足的椭圆，其标准方程为.解法二：令，则三角形PF1F2的面积：，其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：从而有消去得到点I的轨迹方程为：.本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.16、【解题分析】设：，：，利用点到直线的距离，列出式子
