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1、甘肃省酒泉市敦煌中学2024届高三5月月考（数学试题理）试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的。1在中，若，则实数( )ABCD2已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）ABCD3是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）ABCD4如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）ABCD5设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）ABCD6设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )ABCD7是虚数单位，则（ ）A1B2CD8如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（）ABCD大小关系不
3、能确定9设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD10已知函数，则下列结论中正确的是函数的最小正周期为；函数的图象是轴对称图形；函数的极大值为；函数的最小值为ABCD11双曲线的渐近线方程为( )ABCD12已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ）A30BCD62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知是等比数列，且，则_，的最大值为_14已知向量，若，则_.15已知角的终边过点，则_.16曲线在点处的切线方程为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
4、骤。17（12分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围18（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：19（12分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .()求数列，的通项公式；()若 ，求数列的前n项和，并求证：.20（12分）设函数其中()若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;()已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.21（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点（1）证明：平面；（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积22（10分）已知矩阵的逆矩阵.若曲线：在矩阵A对应的变换作用
5、下得到另一曲线，求曲线的方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解题分析】将、用、表示，再代入中计算即可.【题目详解】由，知为的重心，所以，又，所以，所以，.故选：D【题目点拨】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.2B【解题分析】由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得【题目详解】解：由等差数列的性质可得，解得，故选：B【题目点拨】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题3D【解题分析】首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心
6、时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【题目详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、分别为、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【题目点拨】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难
7、点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.4A【解题分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1再由球与圆柱体积公式求解【题目详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1则几何体的体积为故选：【题目点拨】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平5C【解题分析】求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【题目详解】设等比数列的公比为，因此，.故选：
8、C.【题目点拨】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.6D【解题分析】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
9、(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.7C【解题分析】由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.【题目详解】由.故选:C.【题目点拨】本题考查复数的除法和模，属于基础题.8B【解题分析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得【题目详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为又，故故选B【题目点拨】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题9A【解题分析】依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【题目详解】解：
10、依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.10D【解题分析】因为，所以不正确；因为，所以，所以，所以函数的图象是轴对称图形，正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可当时，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，正确；因为，所以，所以函数的最小值为，正确故选D11A【解题分析】将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程.【题目详解】双曲线得，则其渐近线方程为，整理得.故选：A【题目点拨】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12B【解题分
11、析】根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。135 【解题分析】 ，即的最大值为1410【解题分析】根据垂直得到，代入计算得到答案.【题目详解】，则，解得，故，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.15【解题分析】由
12、题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得的值【题目详解】解：角的终边过点，故答案为：【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题16【解题分析】对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.【题目详解】令，所以，又，所求切线方程为，即.故答案为：.【题目点拨】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 () .().【解题分析】()时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等
13、式的解集即可；()不等式的解集为，等价于，求出在的最小值即可【题目详解】()当时，时，不等式化为，解得，即时,不等式化为，不等式恒成立，即时,不等式化为，解得，即综上所述，不等式的解集为()不等式的解集为 对任意恒成立当时，取得最小值为实数的取值范围是【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型18（1）（2）【解题分析】（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，然后再整体代入可得；【题目详解】解：（1）联立解得，所以曲线和曲线围成的图形面积（2）【题目点拨】本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.19（1），；（2）详见解析.【解题分析】（1）当时，当时，当时，也满足，等比数列，又，或（舍去），；（2）由（1）可得：，显然数列是递增数列，即.）20 ()；()证明见解析【解题分析】()求导得到，解得答案.() ，故，在上单调递减，在上单调递增，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【题目详解】()，故，故.
