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1、湘西市重点中学2024届高三数学试题第二次学情调查试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）ABCD2在钝角中，角所对的边分别
2、为，为钝角，若，则的最大值为（ ）ABC1D3已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4在中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5展开式中x2的系数为( )A1280B4864C4864D12806一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD7如图，已知平面，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）ABCD8已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )A，
3、b为任意非零实数B，a为任意非零实数Ca、b均为任意实数D不存在满足条件的实数a，b9已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）ABCD10若（是虚数单位），则的值为（ ）A3B5CD11在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ）ABCD212点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ）A0B1C2D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲
4、线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.14在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且若，则的值为_.15已知向量，满足，则的取值范围为_.16已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为_，若目标函数的最小值为-1，则实数等于_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面求证：平面；若，求证：平面平面.18（12分）已知椭圆的离心率为，且过点（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值19（1
5、2分）已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：20（12分）如图，已知四边形的直角梯形，BC，为线段的中点，平面，为线段上一点（不与端点重合）（1）若，（）求证：PC平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由21（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，（1）求证：平面ACD；（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值22（10分）设函数f(x)=x24xsinx4cosx
6、 （1）讨论函数f(x)在，上的单调性；（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解题分析】复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.【题目详解】，由其在复平面对应的点在第二象限，得，则.故选：B.【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2B【解题分析】首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；【题目详解】解：因为，所以因为所以，即，时故选：【题目点拨】本题考查正
7、弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.3A【解题分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【题目详解】由，则，所以；而当，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【题目点拨】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.4D【解题分析】通过列举法可求解，如两角分别为时【题目详解】当时，但，故充分条件推不出；当时，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【题目点拨】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题5A【
8、解题分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.【题目详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为： 化简得到-1280 x2故得到答案为：A.【题目点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6A【解题分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【题目详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积.故选：A.【题目点拨】本题考查了
9、常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题7B【解题分析】为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【题目详解】，同理为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，又，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则，设，整理可得：在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆平面平面，为二面角的平面角，当与圆相切时，最大，取得最小值此时故选【题目点拨】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果8A【解题分析】求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化
10、简可得，为任意非零实数.【题目详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【题目点拨】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题9A【解题分析】根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【题目详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，此为球的半径，.故选：A.【题目点拨】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题10D【解题分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【题目
11、详解】（是虚数单位）可得解得本题正确选项：【题目点拨】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.11B【解题分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【题目详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当时，有最大值为，即，故.当，即时等号成立.故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.12C【解题分析】设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【题目详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,则单调递减；当时,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的
12、“水平黄金点”的个数为2.故选:C【题目点拨】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（1），；（2），.【解题分析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【题目详解】（1）直线的普通方程为.在曲线的参数方程中，所以曲线的普通方程为.（2）设点.点到直线的距离.当时，所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.【题目点拨】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档
13、题.14【解题分析】根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值.【题目详解】点在单位圆上，设，由三角函数定义可知，因为，则，所以由同角三角函数关系式可得，所以 故答案为：.【题目点拨】本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.15【解题分析】设，由，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解.【题目详解】设，如图所示：因为，所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，则即的距离，由图可知，.故答案为：【题目点拨】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.16 【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.【题目详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足在直线下方，即，；目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点时，此时，直线：，与：的交点为，该点也在直线：上，故，故答案为：；.【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答
