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1、河南省南阳市2024届高三数学试题3月摸底考试试题请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A2BC6D82设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ）A2B24C16D143已知数列的前项和为，且，则的通项公式（ ）ABCD4已
2、知是虚数单位，若，则实数（ ）A或B-1或1C1D5已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A1B2C3D46已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）A2BCD57设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为ABCD8已知变量x，y间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为，则表中数据m的值为（ ）变量x0123变量y35.57A0.9B0.85C0.75D0.59我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）ABCD10把
3、满足条件（1），（2），使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ） A1个B2个C3个D4个11波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k0，且k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆=1（ab0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）ABCD12如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点
4、的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_.14正四棱柱中，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为_.15已知函数是定义在上的奇函数，则的值为_16集合，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围：（2）若，记的两个极值点为，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值.18（12分）已知三棱柱中，是的中点，.（1）求证：；（2）若侧面为正
5、方形，求直线与平面所成角的正弦值.19（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.20（12分）在中，角、的对边分别为、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.21（12分）如图，平面分别是上的动点，且.（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.22（10分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.参考答案一、选择题：本题共12小
6、题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【题目详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为.故选A【题目点拨】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.2D【解题分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【题目详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为.故选
7、：D.【题目点拨】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.3C【解题分析】利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.【题目详解】由，得，可得（）.相减得，则（），又由，得，所以，所以为常数列，所以，故.故选：C【题目点拨】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.4B【解题分析】由题意得，然后求解即可【题目详解】，.又，.【题目点拨】本题考查复数的运算，属于基础题5D【解题分析】先用公差表示出，结合等比数列求出.【题目详解】,因为成等比数列，所以，解得.【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简
8、单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.6B【解题分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【题目详解】.选B.【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.7A【解题分析】画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【题目详解】画出所表示的区域，易知，所以的面积为，满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为，故选A项.【题目点拨】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.8A【解题分析】计算，代入回归方程可得【题目详解】
9、由题意，解得故选：A.【题目点拨】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点9A【解题分析】根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【题目详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10B【解题分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【题目详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，不满足（2）；不满足（1）；不满足（2）；均满足（1）（2）.故选：B.【
10、题目点拨】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.11D【解题分析】求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.【题目详解】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）动点M满足=2，则 =2，化简得.MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1， ，解得，椭圆的离心率为故选D【题目点拨】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题12C【解题分析】易得，又，平方计算即可得到答案.【题目详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，所以，即，故离心率为.故选：C.【题目点拨】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是
11、一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得，,即故答案为142.【解题分析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【题目详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求
12、解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.15【解题分析】先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可.【题目详解】解: ,又因为定义在上的奇函数,则,则,又因为,所以,所以.故答案为: 【题目点拨】本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.16【解题分析】分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集.【题目详解】因为表示为奇数，故.故答案为：【题目点拨】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）【解
13、题分析】（1）求导.根据单调，转化为对恒成立求解（2）由（1）知，是的两个根，不妨设，令. 根据，确定，将转化为. 令，用导数法研究其单调性求最值.【题目详解】（1）的定义域为，.因为单调，所以对恒成立，所以，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以；（2）由（1）知，是的两个根.从而，不妨设，则. 因为，所以t为关于a的减函数，所以. 令，则. 因为当时，在上为减函数.所以当时，.从而，所以在上为减函数.所以当时，.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.18（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）取的中点，连接，证明平面得出，再得出；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算，即可得出答案【题目详解】（1）证明：取的中点，连接，故，又，平面，平面，分别是，的中点，（2）解：四边形是正方形，又，平面，平面，在平面内作直线的垂线，以为原点，以，为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，1，2，0，1，2，1，设平面的法向量为，则，即，令可得：，直线与平面所成角的正弦值为，【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属
