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1、安徽宣城市2024届高三4月联考数学试题（详细答案版）注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为A或11B或11CD2已知
2、集合，则（ ）ABCD3造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）A69人B84人C108人D115人4设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5设函数满足，则的图像
3、可能是ABCD6新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一7若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）ABCD8已知随机变量满足，.若，则（ ）A，B，C，D
4、，9直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）ABCD10已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，则（ ）A2BC1D11的二项展开式中，的系数是（ ）A70B-70C28D-2812设向量，满足，则的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_14已知数列满足，则_15已知函数，若，则_.16已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤。17（12分）已知.（1）解关于x的不等式：；（2）若的最小值为M，且，求证：.18（12分）如图，在矩形中，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.19（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.20（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1（1）求椭圆的方程；（1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存
6、在，请说明理由21（12分）如图，四棱锥中，平面平面，若，四边形是平行四边形，且.（）求证：；（）若点在线段上，且平面，求二面角的余弦值.22（10分）如图，在三棱柱中，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A2B【解题分析】求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.【题目详解】由，得，则集合，所以，.故选：B.【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解
7、决本题的关键，属于基础题.3D【解题分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【题目详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人.故选：D【题目点拨】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.4C【解题分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【题目详解】如图所示，同时.故选:C.【题目点拨】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.5B【解题分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质由得是偶函数，
8、所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B6C【解题分析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【题目详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【题目点拨】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.7B【解题分析】根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【题目详解】因为双曲线的焦距为，故可得，解得，不妨取；又焦点，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式即可求的.故选：B.【题目点拨】本题考查由双曲线的焦距
9、求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.8B【解题分析】根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解.【题目详解】因为随机变量满足，.所以服从二项分布，由二项分布的性质可得：，因为，所以，由二次函数的性质可得：，在上单调递减，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.9A【解题分析】由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且 直线交轴于，所以，因为，所以，所以，又
10、由点在椭圆上，得 由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A.【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)10D【解题分析】说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值【题目详解】由知函数的周期为4，又是奇函数，又，故选：D【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础11A【解题分析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A考点：二项式定理的应用12
11、B【解题分析】由模长公式求解即可.【题目详解】，当时取等号，所以本题答案为B.【题目点拨】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1360【解题分析】根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【题目详解】如图所示：设双曲线的半焦距为.因为,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为：60【题目点拨】本题主要
12、考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.14【解题分析】项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解【题目详解】当时，由已知，可得，故，由-得，显然当时不满足上式，故答案为：【题目点拨】本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.15【解题分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.【题目详解】因为函数，其定义域为，所以其定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，因为，所以.故答案为:【题目点拨】本题考
13、查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16【解题分析】由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率注意对称性，问题应该有两解【题目详解】直线过抛物线的焦点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，因为，所以因为，所以，从而设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则，同理，则，解得，由对称性还有满足题意，综上，【题目点拨】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦
14、点距离与它到距离联系起来是解题关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；（2）由（1）中所得函数，求得最小值，再利用均值不等式即可证明.【题目详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立， 当时，等价于，该不等式解集为， 当时，等价于，解得， 综上，或，所以不等式的解集为. （2），易得的最小值为1，即因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立.【题目点拨】本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.18（）详见解析；（）.【解题分析】（）根据，可得平面，故而平面平面（）过作于，则可证平面，故为所求角，在中利用余弦定理计算，再
