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1、北京市第十二中2024届高考仿真模拟数学试题试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、三个贫困县扶
2、贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）A6种B12种C24种D36种2若复数，其中是虚数单位，则的最大值为( )ABCD3设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设，且，则（ ）ABCD5若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）ABC3D26设为的两个零点，且的最小值为1，则（ ）ABCD7等比数列的各项均为正数，且，则( )A12B10C8D8已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）ABCD9已知，若，则正数可以为（ ）A4B23C8D1710已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（ ）ABCD
3、11九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）ABCD12复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图所示，平面BCC1B1平面ABC，ABC120，四边形BCC1B1为正方形，且ABBC2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_14在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内若，则_15已知，且，则的最小值是_.16已知一组数据，1，0，的方差为10，则_三、解答题：共70分。解答应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.18（12分）如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.19（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，均为正三角形，E为AB的中点（）证明：平面；（）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积20（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的
5、前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）21（12分）设函数 .(I)求的最小正周期；
6、(II)若且，求的值.22（10分）已知a0，证明：1参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【题目详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【题目点拨】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.2、C【解题分析】由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【题目详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其
7、中，故选C【题目点拨】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.3、B【解题分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可【题目详解】解不等式可得，解绝对值不等式可得，由于为的子集，据此可知“”是“”的必要不充分条件故选：B【题目点拨】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.4、C【解题分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.【题目详解】 即故选：C【题目点拨】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.5、C【解题分析】作出可行域，直线目标
8、函数对应的直线，平移该直线可得最优解【题目详解】作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1故选：C【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形6、A【解题分析】先化简已知得,再根据题意得出f（x）的最小值正周期T为12，再求出的值【题目详解】由题得,设x1，x2为f（x）=2sin（x）（0）的两个零点，且的最小值为1，=1，解得T=2；=2，解得=故选A【题目点拨】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题7、B【解题分析】由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可
9、得结论【题目详解】数列是等比数列，故选：B.【题目点拨】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键8、A【解题分析】对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.【题目详解】 因为为纯虚数，所以，得所以.故选A项【题目点拨】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.9、C【解题分析】首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；【题目详解】解：，当时，满足，实数可以为8.故选：C【题目点拨】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.10、B【解题分析】由题意可得，且，故有，再根据，求得，由可得的最大值，检验的
10、这个值满足条件【题目详解】解：函数，为的零点，为图象的对称轴，且，、，即为奇数在，单调，由可得的最大值为1当时，由为图象的对称轴，可得，故有，满足为的零点，同时也满足满足在上单调，故为的最大值，故选：B【题目点拨】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题11、B【解题分析】利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【题目详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【题目点拨】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式
11、的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.12、D【解题分析】由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标得结论【题目详解】，对应点为，在第四象限故选：D.【题目点拨】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【题目详解】过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，故.【题目点拨】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中
12、档题.14、【解题分析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【题目详解】解：连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：设 得,解得,或,显然得出的是定值,取则,故答案为：【题目点拨】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.15、8【解题分析】由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.【题目详解】，当且仅当时等号成立.故的最小值为8，故答案为：8.【题目点拨】本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.16、7或【解题分析】依据方差公式列出方程，解出即可【题目详解】，1，0，的平均
13、数为，所以 解得或【题目点拨】本题主要考查方差公式的应用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.【题目详解】解：（1）由于，得，当时，此时在上递增；当时，由，解得，若，则，若，此时在递增，在上递减.（2）由（1）知在处取得最大值为：，设，则，令，则，则在单调递减，即，则在单调递减，.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.18、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析:（1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，.由即及为的中点，可得为等边三角形，又，平面平面，平面平面.（2）解：，为直线与所成的角，由（1）可得，设，则，取的中点，连接，过作的平行线，可建立如图所示的空间直
