《2024届湖南长沙市高三（下）第一次联考数学试题试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届湖南长沙市高三（下）第一次联考数学试题试卷（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024届湖南长沙市高三（下）第一次联考数学试题试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，
2、请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD2的展开式中的系数是-10，则实数( )A2B1C-1D-23命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）ABCD4已知函数是奇函数，则的值为（ ）A10B9C7D15若函数（）的图象过点，则（ ）A函数的值域是B点是的一个对称中心C函数的最小正周期是D直线是的一条对称轴6平行四边形中，已知，点、分别满足，且，则向量在上的投影为（ ）A2BCD7某
3、四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）ABCD8已知实数，则的大小关系是()ABCD9如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）AB1CD10已知实数满足不等式组，则的最小值为（ ）ABCD11设为等差数列的前项和，若，则ABCD12已知为虚数单位，实数满足，则 ( )A1BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量与的夹角为，|1，且（），则实数_.14已知下列命题：命题“x0R，”的否定是“xR，x213x”；
4、已知p，q为两个命题，若“pq”为假命题，则“”为真命题；“a2”是“a5”的充分不必要条件；“若xy0，则x0且y0”的逆否命题为真命题其中所有真命题的序号是_15实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_16若为假，则实数的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、（1）证明：；（2）若的面积，求的取值范围18（12分）已知等差数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；求数列的前n项和19（12分）已知等比数列中，是和的等差中项
5、(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.20（12分）设为抛物线的焦点，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.（）若点在线段上，求的最小值；（）当时，求点纵坐标的取值范围.21（12分） 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.22（10分）已知函数（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）函数的最小值为，若正实数，满足，证明：参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解题分析】根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，
6、从而可得正确的选项.【题目详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，故，所以.令，则，故在上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【题目点拨】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.2C【解题分析】利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C【题目点拨】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.3A【解题分析】分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【题目详解】对于命题
7、，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、都是假命题.故选：A【题目点拨】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.4B【解题分析】根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【题目详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B【题目点拨】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.5A【解题分析】根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.【题目详解】由函数（）的图象过点，可得，即，
8、故，对于A，由，则，故A正确；对于B，当时，故B错误；对于C，故C错误；对于D，当时，故D错误；故选：A【题目点拨】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.6C【解题分析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【题目详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【题目点拨】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.7D【解题分析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【题目详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，.故，故，.故选：.【题目点拨】本题考查了三视图，元素
9、和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8B【解题分析】根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出【题目详解】解：，故选：B【题目点拨】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9D【解题分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【题目详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，设抛物线，代入点，可得焦点为，即焦点为中点，设焦点为，.故选：D【题目点拨】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.10B【解题分析】作出约束条件的可行域
10、，在可行域内求的最小值即为的最小值，作，平移直线即可求解.【题目详解】作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分）令，则，作出，平移直线，当直线经过点时，截距最小，故，即的最小值为.故选：B【题目点拨】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.11C【解题分析】根据等差数列的性质可得，即，所以，故选C12D【解题分析】 ，则 故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。131【解题分析】根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出【题目详解】向量与的夹角为，|1，且；1故答案为：1【题目点拨】考查向量数量积的运算及计算公式，以
11、及向量垂直的充要条件14【解题分析】命题“xR，x213x”的否定是“xR，x213x”，故错误；“pq”为假命题说明p假q假，则(p)(q)为真命题，故正确；a5a2，但a2/ a5，故“a2”是“a5”的必要不充分条件，故错误；因为“若xy0，则x0或y0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误15【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.【题目详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于A点，由图象可知，目标函数在该点
12、取得最小值，所以直线也过A点，由，得，代入，得，所以点C的坐标为等价于点与原点连线的斜率，所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，故答案为：.【题目点拨】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.16【解题分析】由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可.【题目详解】因为为假，则其否定为真，即为真，所以对任意实数恒成立，所以.又，当且仅当，即时，等号成立，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.三
13、、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（2）【解题分析】（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用相似得出，可得出的边上的高，并利用弦长公式计算出，即可得出关于的表达式，结合不等式可解出实数的取值范围.【题目详解】（1）设点、，则，直线的方程为：，由，消去并整理得，由韦达定理可知，代入直线的方程，得，解得，同理，可得，,代入得，因此，；（2）设点到直线、的距离分别为、，则，由（1）知，同理，得，由，整理得，由韦达定理得，得，设点到直线的高为，则，解得，因此，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题18（1）；（2）.【解题分析】先设出数列的公差为d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果利用裂项相消法求出数列的和【题目详解】解：设公差为d的等差数列的前n项和为，且，则有：，解得：，所以：由于：，所以：，则：，则：，【题目点拨】本题考查的知识要点：数列
