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1、选修41几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)1. 如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AEDE，BE4，EC1，求AB的长解：根据题意可以判断RtABERtECD，则有，可得AB2.2. 如图，在ABC和DBE中，若ABC与DBE的周长之差为10 cm，求ABC的周长解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得ABC的周长为25 cm.3. 在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，求DEBC的值解：ADEABC，利用面积比等于相似比的平方可得DEBC12.4. 如图，在ABC中，A90，正方形DEFG的边长
2、是6 cm，且四个顶点都在ABC的各边上，CE3 cm，求BC的长解： 四边形DEFG是正方形， GDBFEC90，GDDEEF6 cm. BC90，BBGD90， CBGD， BGDFCE， ，即BD12 cm， BCBDDEEC21 cm.5. 如图，在ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，SDOE9 cm2，求SAOB.解： 在ABCD中 ，ABDE， AOBEOD， . E是CD的中点， DECDAB，则2， 224， SAOB4SDOE4936(cm)2.6. 如图，在ABC中，D为BC边上中点，延长BA到E，使AEEB，连结DE，交AC于F.求AFFC的值解：过D点作DPA
3、C(如图)，因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DPAC.又AEEB，所以AEAP，所以AFDPAC，所以AFFC13.7. 将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF.已知ABAC3，BC4，若以点B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，求BF的长解：设BFx.若CFBCBA，则，即. 123x4x， x.若CFBCAB，则，即，得x2.即BF2或.8. 如图，在ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求的值解：过D点作DMAF交BC于M.因为DMAF，所以.因为EFDM，所以，即SBDM9SBEF.又，即SDMCSBDM6
4、SBEF，所以S四边形DEFC14SBEF，因此.9. 如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AEBF2DEAF.证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在BCF中，D是BC的中点，DNBF， DNBF. DNAF， AFEDNE. . DNBF， ，即AEBF2DEAF.10. 如图，在ABC中，ABAC，延长BC到D，使CDBC，CEBD，交AD于E，连结BE，交AC于点F.求证：AFFC.证明：取BC的中点H，连结AH. ABAC， AHBC. CEBD， AHEC. CDBC， CD2CH.则DE2AE.取ED的中点M
5、，连结CM.则MEAE. C为BD的中点， CMBE.则F为AC的中点，即AFFC.11. 如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA，交BA的延长线于点F.(1) 求证：DEADFA；(2) 若EBA30，EF，EA2AC，求AF的长(1) 证明：连结AD、BC.因为AB是圆O的直径，所以ADBACBEFA90，故A、D、E、F四点共圆，所以DEADFA.(2) 解：在RtEFA和RtBCA中，EAFCAB，所以EFABCA，故.设AFa，又EF，EBA30，所以BF3，则AB3a，AE2AF2EF2a23.所以a(3a)(3a2)，解得a1.所以AF的长为1.第2
6、课时圆的进一步认识(理科专用)1. (2014南京、盐城期末)如图，AB、CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC，OP，求PD的长解：因为P为AB中点，所以OPAB，所以PB.因为PCPDPAPBPB2，由PC，得PD.2. 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB3AD，求的值解：设圆的半径为R，则ADR，ODRRR.又OD2OEOC，所以OER，CERRR，所以8.3. 如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA3，PDDB916，分别求PD、AB的值解：由PDDB916，可设PD9x，DB16x.因为PA
7、为圆O的切线，所以PA2PDPB，所以329x(9x16x)，化为x2，所以x.所以PD9x，PB25x5.因为AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，所以ABPA.所以AB4.4. (2014苏北三市期末)如图，锐角ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点若C50，求DEF的度数解：由圆D与边AC相切于点E，得AED90.因为DFAF，得AFD90，所以A、D、F、E四点共圆，所以DEFDAF.又ADFABDBAD(ABCBAC)(180C)90C，所以DEFDAF90ADFC.由C50，得DEF25.5. 自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点
8、，过M引割线交圆于B、C两点求证：MCPMPB.证明： PA与圆相切于A， MA2MBMC.又M为PA的中点， PMMA， PM2MBMC， . BMPPMC， BMPPMC， MCPMPB.6. (2014镇江期末)如图，已知AB是圆O的直径，圆O交BC于点D，过点D作圆O的切线DE交AC于点E，且DEAC.求证：AC2OD.证明： DE是圆O的切线， ODDE.又DEAC， ODAC. O是AB的中点， OD是ABC的中位线， ODAC，即AC2OD.7. (2014南京、盐城一模)如图，ABC为圆的内接三角形，ABAC，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，A
9、D与BC交于点F.(1) 求证：四边形ACBE为平行四边形；(2) 若AE6，BD5，求线段CF的长(1) 证明：因为AE与圆相切于点A，所以BAEACB.因为ABAC，所以ABCACB.所以ABCBAE.所以AEBC.因为BDAC，所以四边形ACBE为平行四边形(2) 解：因为AE与圆相切于点A，所以AE2EB(EBBD)，即62EB(EB5)，解得BE4.根据(1)有ACBE4，BCAE6.设CFx，由BDAC，得，即，解得x，即CF.8. (2014盐城二模)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB10，ED3，求BC的长解： AB
10、是圆O的直径且BCCD， ABAD10.连结CO， EC为圆O的切线， ECCO.记H是AD与圆O的交点，连结BH， ECBH， HEED3， AH4， BD262AB242， BD2， BC.9. 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BEAC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交CD的延长线于点P，PCED1，PA2.(1) 求AC的长；(2) 求证：BEEF.(1) 解： PA2PCPD，PA2，PC1， PD4.又PCED1， CE2. PACCBA，PCACAB， PACCBA， ， AC2PCAB2， AC. (2) 证明： BEAC，CE2，而CEEDBEEF， EF， EFBE
11、.10. (2014南京二模)已知圆O的内接ABC中，D为BC上一点，且ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2BDEC.证明：因为AE为圆O的切线，所以ABDCAE.因为ACD为等边三角形，所以ADCACD，所以ADBECA，所以ABDEAC.所以，即ADCABDEC.因为ACD为等边三角形，所以ADACCD，所以CD2BDEC.11. 如图所示，AB是圆O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AB的垂线交AC的延长线于点E、交AD的延长线于点F，过G作圆O的切线，切点为H.求证：(1) C、D、F、E四点共圆；(2) GH2GEGF.证明：(1) 如图，连结BC. AB是圆O的直径， ACB90. AGFG， AGE90.又EAGBAC， ABCAEG.又FDCABC， FDCAEG. FDCCEF180. C、D、F、E四点共圆(2) GH为圆O的切线，GCD为割线， GH2GCGD.由C、D、F、E四点共圆，得GCEAFE，GECGDF， GCEGFD. ，即GCGDGEGF， GH2GEGF.
