《（教学思想典型题专讲）高三数学一轮复习 导数的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（教学思想典型题专讲）高三数学一轮复习 导数的综合应用（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数的综合应用 一、选择题1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是(B)(A)m-2(B)m-2(C)m1,则不等式exf(x)ex+1的解集为(A)(A)x|x0(B)x|x0(C)x|x1(D)x|x-1或0xex-ex=0,所以g(x)=exf(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)g(0),解得x0.故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S(t)的图象大致为(A)解析:由导数的定义知,
2、S(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S(t)也应逐渐增大;当露出的是区域时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S(t)0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)1,则的取值范围是
3、(B)(A)(B)(C)(-1,0)(D)(-,-1)解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)f(4),又由f(x)0,得f(x)为增函数,所以a+2b4,而a,b为正数,所以a+2b4所表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界),其中A(0,4),B(2,0),可看成是直线PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界),所以kPBkPMkPA,而kPA=3,kPB=,所以kPM3,故选B.5.(2013淄博一检)已知a+ln x对任意x恒成立,则a的最大值为(A)
4、(A)0(B)1(C)2(D)3解析:设f(x)=+ln x=+ln x-1,则f(x)=-+=.当x时,f(x)0,故函数f(x)在(1,2上单调递增,f(x)min=f(1)=0,a0,即a的最大值为0.故选A.二、填空题6.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x (x0),为使耗电量最小,则速度应定为.解析:由y=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0x40时,y40时,y0.所以当x=40时,y有最小值.答案:407.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是.解析:方程可化为a=x3-3x2,设f(x)=x3-3x2,
5、则f(x)=3x2-6x,由f(x)0,得x2或x0;由f(x)0,得0x2,所以f(x)在(-,0)和(2,+)上单调递增,在(0,2)上单调递减,故f(x)在x=0处有极大值,f(0)=0.在x=2处有极小值f(2)=-4.要使方程有三个不同的实根,则有-4a0,解得a2或a2或a0),(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,求实数a,b的值;求函数f(x)在上的最大值.(2)当b=0时,若不等式f(x)m+x对所有的a,x(1,e2都成立,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=-2bx,函数f (x)在x=1处与直线y=-相切,解得f(x)=ln x-x2,f(x)=-x=,当
6、xe时,令f(x)0得x1;令f(x)0,得10,h(a)在a上单调递增,h(a)min=h(0)=-x,m-x对所有的x(1,e2都成立.1xe2,-e2-xln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.(1)解:f(x)=ex-2,由f(x)0可得,x0可得xln 2,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,ln 2),单调递增区间为(ln 2,+).当x=ln 2时,有极小值f(ln 2)=2(1-ln 2+a).(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln 2-1时,g(x)的最小值为g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0) =0,从而对任意x(0,+),g(x)0,即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.
