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1、重庆市黔江中学校2023-2024年度高二上11月考试数学试卷考试时间:120分钟一、选择题(本题共8道小题,每小题5分,共40分1. 已知点,直线的倾斜角为,则()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由斜率公式计算即可.【详解】由题意知,解得.故选:A.2. 已知,则线段的中点坐标是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合空间中点坐标公式计算即可.【详解】因为,所以线段中点坐标为,即.故选:B.3. 已知命题p:方程表示焦点在轴上的椭圆,则的范围( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆列式可得结果.【详解】依题意有
2、:,解得,故选:A.4. 圆与圆的公切线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】根据两圆的位置关系即可求解.【详解】圆标准方程为,圆心坐标为,半径为2.圆与圆的圆心距为3,等于两个圆的半径之和,所以圆与圆外切,故圆与圆的公切线有3条.故选:C5. 已知直线与以点为圆心的圆相交于A,B两点,且,则圆C的方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意,圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式即可求解.【详解】解:由题意,为等腰直角三角形,所以圆心到直线的距离,即,解得,所以圆C的方程为,故选:C.6. 设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则
3、直线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可.【详解】设则将点代入椭圆方程,两式作差得即直线的斜率为直线的方程为即.故选:.7. 设直线与圆交于、两点,若线段的中点为,则圆上的点到直线的距离的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的方程,并求出圆的圆心到直线的距离,结合圆的几何性质可得出结果.【详解】圆的圆心为,由垂径定理可知,直线的斜率为,所以,直线的斜率为,故直线的方程为,即,圆的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,因此,圆上的点到直线的距离的最小值为
4、.故选:A.8. 油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,若该椭圆的离心率为e,则( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意先求得短半轴长,再根据正弦定理求得,进而根据离心率的公式求解即可【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,由图可知,椭圆的短半轴长,在中,由正弦定理得:,所以, 故选:D.二、多选题(本题共4
5、道小题,每小题5分,共20分)9. 下列命题是真命题的有()A. A,B,M,N是空间四点,若能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面B. 直线l的方向向量为,直线m的方向向量为,则l与m垂直C. 直线l的方向向量为,平面的法向量为,则lD. 平面经过三点是平面的法向量,则【答案】BD【解析】【分析】A项,空间的基底向量必不共面,易推得结论错误;B项,利用两直线的方向向量垂直判断直线垂直即得;C项,利用直线的方向向量与平面的法向量不共线即可判断线面不垂直;D项,利用平面的法向量与平面内的向量垂直即得参数之间的数量关系.【详解】对于A选项,因能构成空间的一个基底,故不能平移到同一个平面内,即
6、 A,B,M,N不共面,A项错误;对于B选项,因,即,故l与m垂直,B项正确; 对于C选项,要使l,须使与共线,不妨设,则得:,显然该方程组无解,故C项错误;对于D选项,因是平面内的两个向量,是平面的法向量,故解得:则有:,故D项正确.故选:BD.10. 已知直线,以下结论正确的是()A. 不论a为何值时,与都互相垂直B. 直线过定点,过定点 C. 如果与交于点,则点M的轨迹方程为D. 如果与交于点,则的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】A.根据两直线垂直的公式,即可判断;B.根据含参直线过定点问题,即可判断;C.取特殊点,即可判断;D.首先求交点的坐标,代入两点间距离公式,即可判断.【详
7、解】对于A,恒成立,l1与l2互相垂直恒成立,故A正确;对于B,无论为何值,直线过定点,过定点,故B正确;对于C,(0,0)能使方程成立,但不能使直线方程成立,故C不正确;对于D,联立,解得,即,所以,所以的最大值是,故D正确故选:ABD11. 已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则()A. 椭圆的短轴长为B. 最大值为8C. 离心率为D. 椭圆上不存在点,使得【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的焦点弦中通径最短,可得椭圆方程,结合椭圆的性质即可判断项;根据焦点三角形的周长和的最小值为4,可判断项;根据椭圆中当动点与短轴顶点重合时,最大,结合余弦定理即可判
8、断项.【详解】易知当轴时,即线段为通径时,最短,解得椭圆方程为椭圆的短轴长为故错误;因为的周长为且故正确;离心率故正确;易知当点位于短轴顶点时,最大,此时又为三角形内角,椭圆上不存在点,使得,故正确.故选:.12. 如图,在直三棱柱中,是直角三角形,且为的中点,点是棱上的动点,点是线段上的动点,则下列结论正确的是( ) A. 异面直线与所成角的余弦值是B. 三棱柱的外接球的表面积是C. 当点是线段的中点时,三棱锥的体积是D. 的最小值是2【答案】AC【解析】【分析】由空间向量的坐标运算判断A,由棱柱的外接球半径与球的表面积公式判断B,由线面平行关系与棱锥的体积公式判断C,在平面中,数形结合求的
9、最小值后判断【详解】解:在直三棱柱中,是直角三角形,且,则,则建立以为坐标原点,以、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系,如图所示: 则,对于:, 故异面直线与所成角的余弦值是,故A正确;对于:将直三棱柱补成直四棱柱,可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球,外接球半径,故三棱柱的外接球的表面积是,故B错误;对于:连接,则是的中点,点是线段的中点,平面,是棱上动点,点到平面的距离就是点到平面的距离,又,故C正确;对于:由选项C得是的中点,则平面,平面,平面,在中,且,在平面中,建立以为原点,以为轴,以为轴,建立平面直角坐标系,如图所示: 则,过作直线对称点,当时,此时的值最小,且为,也就是点
10、到轴的距离, 设,可得的中点坐标为,直线的方程为,即,解得,的最小值是,故D错误,故选:三、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13. 直线与直线的距离为_【答案】【解析】【分析】由平行线间的距离公式代入即可得出答案.【详解】因为直线与直线平行,所以它们间的距离为:.故答案为:14. 已知直线经过点,圆,若直线与圆C相切,则直线的方程为_【答案】或【解析】【分析】当直线斜率不存在时,直线为符合题意,当直线斜率存在时,设为,由圆心到该直线的距离等于半径列方程即可求解.【详解】将圆的方程化为标准方程为,所以圆心坐标,半径,因为,所以点在圆外,当直线的斜率不存在时,即直线为,圆心到直线的距
11、离为2,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,所以圆心到直线的距离,整理:,解得,所以直线为,即,综上所述:直线的方程为或.15. 已知点,点是直线上的动点,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】求出关于的对称点,作出辅助线,当三点共线时,取得最大值,求出最大值.【详解】设点关于的对称点为,则,解得,故,由对称性可知,当可组成三角形时,根据三角形三边关系得到,连接并延长,交于点,则此时,即当三点共线时,取得最大值,最大值为.故答案为:16. 已知圆,点是圆上一动点,若在圆上存在点,使得,则正数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】分析可得满足,结合条件可得圆与圆内切,从而可得答案【
12、详解】解:要使最大,考虑点在圆外,若在圆上存在点,使得,当直线与圆相切时,有最大值,即,则满足,又点是圆上一动点,由图可知,圆与圆内切,即,故答案为:【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系,考查推理能力,考查数形结合思想,属于中档题四、解答题(17题10分,18-22题每题12分,总分70分)17. 已知的顶点坐标为.(1)试判断的形状:(2)求边上的高所在直线的方程.【答案】(1)直角三角形 (2)【解析】【分析】(1)求出,得到,故得到垂直关系,得到三角形形状;(2)由得到边上高线所在直线的斜率,进而由点斜式求出直线方程,得到答案.【小问1详解】,又,为直角三角形【小问2详解】因为,所以边上
13、高线所在直线的斜率为,直线的方程是,即18. 如图,在四棱锥中,平面平面,(1)求证:;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质定理可得答案;(2)延长交于点,做交于点,连接,由线面垂直的判定定理、性质定理可得即为平面与平面二面角的平面角,在求出可得答案.【小问1详解】因为,所以,即,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,平面,所以;【小问2详解】延长交于点,做交于点,连接,由(1)知平面,平面,所以,且,平面,所以平面,因为平面,所以,所以即为平面与平面二面角的平面角,因为,所以,可得,所以为等腰直角三角形,由得为的中点,所以,由
14、得,所以,所以平面与平面夹角的余弦值为.19. 已知圆,圆,动圆P以点P为圆心,且与圆外切,与圆内切.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)已知点为轨迹C上任意一点,求的最大值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用动圆与圆外切,与圆内切可得动圆圆心满足的几何性质,再根据椭圆的定义可得的轨迹方程.(2)根据点中x,y的关系,代入消去x,转化为关于y的二次函数求最值.【小问1详解】设动圆圆心,设动圆的半径为r,由题意有,消r得到:,动圆圆心P的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为4的椭圆,故,故轨迹的方程为:.【小问2详解】因为点为(1)所求轨迹上任意一点,则,且,所以,当时,取最大值为.20. 已知椭圆,直线.(1)求证:对,直线与椭圆总有两个不同交点;(2)直线与椭圆交