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1、广东省河源市东源县广州大学附属东江中学2023年高二上数学期末统考模拟试题注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在四面体中，且，则等于（）A.B.C.D.2如图，双曲线的左，右焦点分别为
2、，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距则C的离心率为（ ）A.B.C.D.3抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）4已知等差数列满足，则（）A.B.C.D.5已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）A.1B.C.1或D.6如图，在平行六面体中，设，用基底表示向量，则（）A.B.C.D.7已知直线和圆相交于两点若，则的值为（）A.B.C.D.8在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）A.相交B.平行C
3、.垂直D.不能确定9用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数A.24B.12C.81D.6410，则与分别为（）A.与B.与C.与0D.0与11九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，若，则（ ）A.B.C.D.12已知集合，从集合A中任取一点P，则点P满足约束条件的概率为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中A点，将，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则四面体的
4、外接球表面积为_.14在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为_15在正方体中，二面角的大小为_（用反三角表示）16圆和圆的公切线的条数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.18（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为侧棱上一点（1）求证：；（2）若为中点，平面与侧棱于点，且，求四棱锥的体积19（12分）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体
5、是否为阳性，现有n（nN*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：逐份检验，需要检验n次；混合检验，将其中k（kN*，2kn）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0p1）.（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验
6、出来的概率.（2）现取其中的k（kN*，2kn）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为2.（i）若k4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；（ii）若，证明：.20（12分）已知椭圆焦距为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线上任意一点，设直线的斜率分别为，若，求的方程21（12分）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若，求以为直径的圆方程；（3）当点变化时
7、，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由22（10分）已知等差数列满足：，（1）求数列的通项公式，以及前n项和公式；（2）若，求数列的前n项和参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题知，故选：B.2、C【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.【详解】连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知由双曲线的定义知，在中， （负值舍去）故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查
8、基本分析求解能力，属基础题.3、D【解析】的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握4、D【解析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合即可得的值.【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，即，所以，所以，故选：D.5、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A6、B【解析】直接利用空间向
9、量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，所以，故选：B7、C【解析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案.【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为，故故选：C.8、B【解析】建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量.A1M=AN=，M，N，.，MN平面BB1C1C，故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.9、A【解析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.【详解】由题意，
10、从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.故选：A10、C【解析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，故选：C11、C【解析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.【详解】以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，.因为，所以，则，则解得，故.故选：C12、C【解析】根据圆的性质，结合两条直线的位置关系、几何概型计算公式进行求解即可.【详解】，圆心坐标为，半径为，直线互相垂直，且交点为，由圆的性质可知：点P满足约束条件的概率为，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析
11、】由题意在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,则长方体与四面体的外接球相同，从而可求解.【详解】将直角，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，所以在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,如图.则长方体与四面体的外接球相同.长方体的外接球在其对角线的中点处.由题意可得，则长方体的外接球的半径为 所以四面体的外接球表面积为 故答案为：14、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，所以，因此，设平面的法向量为：，所以有：，令，所以，因此，设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以有，故答案为：15、
12、【解析】作出二面角的平面角，并计算出二面角的大小.【详解】设，画出图像如下图所示，由于，所以平面，所以，所以是二面角的平面角.所以.所以二面角的大小为.故答案为：16、3【解析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.内含关系0条公切线，内切关系1条公切线，相交关系2条公切线，外切关系3条公切线，外离关系4条公切线。【详解】由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1） （2）证明见解析.【解析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；（2）设点，进而联立并结合题意
13、得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，故，综合即可得证明.【小问1详解】解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为所以，所以所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：设点，则点,所以联立方程得，所以有，解得，因为，故或设，所以设向量，所以，所以，即，设的中点为，则所以，又因为，所以，所以，因为点关于轴的对称点为.所以，所以，所以是等腰直角三角形.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可得出；（2）分析可知为的中点，平面，计算出梯形的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积【小问1详解】证明：因为四边形为正方形，则，因为侧面底面，平面平
14、面，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】解：因为，平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，所以，则，所以，四边形是直角梯形，又是中点，所以，所以，由平面，平面，所以，从而，正三角形中，是中点，即，所以平面，因为，所以.19、（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；（2）（i）由已知，可能取值分别为1，求解概率然后求期望推出关于的关系式；（ii）由，计算出，再由，构造函数，利用导数判断函数的最值可得答案.【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，所以前2次检验中有一阳性有一阴性样本第三次为阳性样本，或者前3次均为阴性样本，则.（2）（i），所以，可能取值分别为1，因为得，因为，所以，.（ii）因为，由（i）知，所以，设，所以在单调递增，所以由于，所以，即，得证.【（
