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1、广东第二师范学院番禺附中2024届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在三棱锥中，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）A.B.C.D.2如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）A.B.C.D.3已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.4若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.75已知抛物线的焦点为F，且点F与圆上点的距离的最大值为6，则抛物线的准线方程为（ ）A.B.C.D.6已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是A.B.C.D.7
3、已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8已知直线与直线垂直，则a（）A.3B.1或3C.1D.3或19数列2，0，2，0，的通项公式可以为（）A.B.C.D.10等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为A.1B.2C.4D.811在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则（）A.+B.+C.+D.+12已知平面法向量为，则直线与平面的位置关系为A.B.C.与相交但不垂直D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13两姐妹同时推销某一商品，现抽取他
4、们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则的值为_.14古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：曲线方程为；曲线上存在点，使得到点的距离为；曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.其中所有正确结论的序号是_.15双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_.16若“x2-x-60”是“xa”的必要不充分
5、条件，则a的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知等比数列中，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值18（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足，且的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线设直线交轴于，交轴于，且点，求的轨迹方程19（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，过点作交于点.求证：（1）平面；（2）平面.20（12分）等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.21（12分）设四
6、边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.（1）求与平面所成角的大小；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.22（10分）已知正项等差数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分别取、的中点、，连接、，由题意结合平面几何的知识可得、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.【详解】分别取、的中点、，连接、，如图：由可得，所以，在，
7、可得由中位线的性质可得且，且，所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，在中，所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角2、D【解析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长
8、a，再利用离心率公式计算作答.【详解】依题意，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：，由双曲线对称性知，于是得，即，又双曲线半焦距c=2，所以双曲线的离心率.故选：D【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.3、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，在上为单调递减函数，即，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.4、A【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，2)，然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，抛物线y2=4x上一点P到x
9、轴的距离为2，则P(3，2)，点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选：A.5、D【解析】先求得抛物线的焦点坐标，再根据点F与圆上点的距离的最大值为6求解.【详解】因为抛物线的焦点为F，且点F与圆上点的距离的最大值为6，所以，解得，所以抛物线准线方程为，故选：D6、D【解析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.7、D【解析】由直线的倾斜角为
10、，可得，结合，可推得是等边三角形，可得，计算可得离心率【详解】直线：过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，所以，又是的中点，是的中点，所以，又，所以，又，所以是等边三角形，所以，又在椭圆上，所以，所以，所以离心率为，故选：8、D【解析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.【详解】直线与直线垂直，所以，解得或.故选：D.9、D【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.【详解】A.当时，不符；B.当时，不符；C.当时，不符；D.当时，当时，符合.故选：D.10、B【解析】设等轴双曲线的方程为抛物线,抛物线准线方程为设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，则,将，代入，得等轴双曲线的方程为的实轴长为
11、故选11、B【解析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出【详解】如图所示，+，又，+，故选：B12、A【解析】.本题选择A选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、13【解析】先根据妹妹的销售量的平均数为14，求得y,进而得到其众数，然后再根据姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，得到姐姐的销售量的中位数.【详解】因为妹妹的销售量的平均数为14，所以，解得，由茎叶图知：妹妹的销售量的众数是14，因为姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，所以姐姐的销售量的中位数是16，所以，解得，所以，故答案为：1314、【解析】设,根据满足,利用两点间距离
12、公式化简整理，即可判断是否正确；由可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断是否正确；设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断是否正确；由椭圆的的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断是否正确.【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以正确；对于中,由可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以不正确；对于中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离,又，到直线的距离，所以，化简可得，又，所以，即，故假设不成立，故不正确；对于中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆
13、上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以正确.故答案为：.15、【解析】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.考点：双曲线的定义.16、3【解析】解出不等式x2-x-60,由“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件,求出a的最小值.【详解】由x2-x-60，解得x3.因为“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即a3，故答案为:3.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.三、解答题
14、：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)；(2)证明见解析，10.【解析】(1)设出等比数列的公比q，利用给定条件列出方程求出q值即得；(2)将给定等式变形成，再推理计算即可作答.【详解】(1)设等比数列的公比为q，依题意，而，解得，所以数列的通项公式为；(2)显然，由得：，所以数列是以为首项，公差为-1的等差数列，其通项为，于是得，由得，而，则数列前4项都为非负数，从第5项起都是负数，又，因此数列前4项和与前3项和相等并且最大，其值为，所以数列前项和的最大值是10.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；（2）将与椭圆方程联立可得，得，结合韦达定理可确定点坐标，由此可得方程，进而得到，化简整理即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】由焦点坐标可知：；，即，解得：，解得：（舍）或，椭圆的方程为：；【小问2详解】由得：，整理
