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1、洛阳市20222023学年高二质量检测数学试卷（理）本试卷共4页，共150分考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上2考试结束，将答题卡交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，则（ ）A. 2B. 1C. D. -1【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】由，所以，所以，故选：C2. 已知随机变量，若，则（ ）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由可知正态分布曲线的对称轴为,故由对称性可知，
2、因此,故选：B3. 已知两条直线：，：，若，则（ ）A. -1或0或3B. -1或3C. 0或3D. -1或0【答案】D【解析】【分析】由可得解得或或，代入检验即可得出答案.【详解】：，：，若，则，即，解得：或或，当时，：，：，则；当时，：，：，则；当时，：，：，则与重合，舍去；故选：D.4. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列
3、，根据即可求出.【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.5. 已知随机变量X的分布列为：X1234P0.10.20.30.4则（ ）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】C【解析】【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性质求解即可.【详解】，所以.故选：C.6. 已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.【详解】设,则，相减得，由于,所以，所以,将其代入中可得，所以
4、 ,故,故选：C7. 曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求导，再利用导数的几何意义求解.【详解】解：因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：A8. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（ ）A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.45【答案】B【解析】【分析】根据题意结合全概率公式可求得结果.【详解】记事件表示“第1 天去餐厅用餐”，事件表示“第1天去餐厅用餐”
5、，事件表示“第2 天去餐厅用餐”，由题意得，,所以由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为故选：B9. 已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】由的最小值为的最小值求解.【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：，由题意得的最小值为的最小值，设关于直线的对称点为，则，解得，则，如图所示： 当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，故选：B10. 平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（ ）A. 14B. 48C. 91D. 420【
6、答案】D【解析】【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理，即可得出结果.【详解】因为平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为.故选：D.11. 如图，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由，求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】设内切圆与切于点
7、，与切于点，则，又由，又，则，又，所以，所以此双曲线的渐近线方程为. 故选：A12. 已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，根据，可得，即为偶函数，再根据当时，利用导数判断函数在上得单调性，再根据，即，即，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，令，则，所以为偶函数，当时，所以，所以函数在上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，因为，所以，所以，即，即，即，则，解得.故数a的取值范围为：故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分1
8、3. 将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先将5名大学生分成4组，再将4组分派到4个乡镇，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，先将5名大学生分成4组，共有种不同的分法，再将4组分派到4个乡镇当村干部，有种分派方式，结合分步计数原理，共有不同的分配方案.故答案为：.14. 投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则_【答案】10【解析】【分析】由随机变量X服从于二项分布，利用期望公式求解.【详解】由题意,成功概率，所以.故答案为：10.15. 已知数列的首项，且满
9、足若，则n的最大值为_【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为，所以，即，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列.可求得，所以，即且单调递增,.则n的最大值为15.故答案为:15.16. 在正方体中，点P满足，其中，现有如下四个命题：存在，使得平面；当时，平面；当时，与平面所成角的最小值为 ；若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是线段其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由法向量与直线的关系即可判断，由线面角的几何法即可求解，由抛物线的定义即可判断.【详解】以，所在直线分别为，轴，
10、建系如图，不妨设正方体的棱长为1，则根据题意可得：，0，0，0，1，1，1，,，,设平面的法向量为，则，取 则，所以法向量为，对于, ，若平面，则，所以，得 ，故存在，使得平面，故正确，对于，当时，故平面；正确，对于，当时，此时点在线段上运动，由于平面 平面,所以与平面所成角即为与平面所成角，由于平面，所以即为与平面所成角，由于,故当在线段端点处，此时 最大为1，此时最小，所以的最小值为1，此时；故正确，对于，由于 ,故点P到直线距离为长度，所以与点P到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是抛物线故错误，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17
11、. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中含的项【答案】（1）7 （2）【解析】【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可；（2）写出展开式后代入求解即可.【小问1详解】在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为，因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，所以，即，化简得：，因为，所以，解得或时，展开式只有3项，不符合题意；所以.【小问2详解】由（1）知，通项公式为，令，得，则.所以展开式中含的项为.18. 已知是等比数列，前n项和为，且.（）求通项公
12、式；（）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.【答案】（）（）【解析】【详解】试题分析：（）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入，得，；（）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.试题解析：（）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和（2）通项公式为的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和
13、法求和19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，且直线PB与CD所成角的大小为 （1）求BC的长；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系由已知求得，的坐标，再由直线与所成角大小为列式求得值，则的坐标可求，即可求得的长；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值【小问1详解】由于平面ABCD，所以两两垂直，故分别以,所在直线为,轴建立如图所示的空间直角坐标系，,0,，,0,，,1,，,0,设,，则,0,，,直线与所成角大小为，即，解得或（舍，,2,，则的长为2；【小问2详解】设平面的一个法向量为,0,，,1,，,，令，则，,1,平面的一个法向量为， ，令，则，,，由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为 20. 已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据几何关系得到，结合椭圆定义即可求解方程；（2）设并联立方程组，进而易得点坐标，根据点在椭圆上代入方程即可求解.【小问1详解】圆S：，即，由题意得，是
