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1、 4.8 解直角三角形易错清单1. 涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形”中.【例 1】 如图,在边长为 1的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上,则 tanA等于().【解析】【答案】 D【误区纠错】 本题容易出错的是,而错选 C.2. 实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错.【例 2】小明去爬山,在山脚看山顶角度为 30,小明在坡比为 512的山坡上走 1 300米,此时小明看山顶的角度为 60,求山高().【解析】,即 tan( 为坡角)的值.坡度为 512,则 tan= ,通过构造两个直角三角形ABE与BD
2、F,分别求解可得 DF与 EB的值,再利用图形关系,进而可求出答案.【答案】 BEAE=512, BEAEAB=51213.AB=1 300米,AE=1 200米,BE=500米.设 EC=x 米,DBF=60,【误区纠错】解决实际问题时,常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误.名师点拨掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊角的三角函数值.提分策略1. 求锐角三角函数值的问题.解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据三角函数的定义进行求解.【例 1】 如图所示,ABC的顶点是正方形网格的格点,则 sinA的值为(
3、). 【解析】 利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.如图,连接 CO.根据网格的特点,COAB.在 RtAOC中,【答案】 B2. 特殊锐角的三角函数值的应用.【例 2】 在ABC中,若A,B满足,则C=.【解析】得A=60,B=45,则C=180-A-B=180-60-45=75.【答案】 75.3. 解直角三角形的问题.作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,是解直角三角形常用的方法.【例 3】 如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:(1) (2)(3)(4)sin2A +sin12B=1;sin2A +sin22B=2;sin2A +sin32B=3.(1)观察
4、上述等式,猜想:在 RtABC中,C=90,都有 sin2A+sin2B=;(2)如图(4),在 RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别是 a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.(3)已知:A+B=90,且 sinA= ,求 sinB.【解析】 (1)由前面的结论,即可猜想出:在 RtABC中,C=90,都有 sin2A+sin2B=1.(2)在 Rt ABC 中 , C=90.利 用 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 得 出 sinA=,sinB=,则sin2A+sin2B=,再根据勾股定理得到 a2+b2=c2,从而证明 sin2A+sinB=1.2(3)利用关系
5、式 sin【答案】 (1)12A+sinB=1,结合已知条件 sinA=,进行求解.2 4. 利用解直角三角形解决实际问题.【例 4】为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图.图(2)是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm和 60cm,且它们互相垂直,座杆 CE的长为 20cm.点 A,C,E在同一条直线上,且CAB=75.(参考数据:sin75=0.966,cos75=0.259,tan75=3.732)(1)(2)(1)求车架档 AD的长;(2)求车座点 E到车架档 AB的距离(结果精确到 1cm).【解
6、析】 (1)在 RtACD中利用勾股定理求 AD即可.(2)过点 E作 EFAB,在 RtEFA中,利用三角函数求 EF=AEsin75,即可得到答案.【答案】 (1) 在 RtACD中,AC=45cm,DC=60cm,车架档 AD的长是 75cm. (2)过点 E作 EFAB,垂足为 F,AE=AC+CE=(45+20)cm,EF=AEsin75=(45+20)sin7562.783563(cm),车座点 E到车架档 AB的距离约是 63cm.【例 5】 “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测得在点 A俯
7、角为 30方向的点F处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察,飞机继续向前飞行了 800米到达 B 点,此时测得点 F 在点 B 俯角为 45的方向上,请你计算当飞机飞临点 F 的正上方点 C时(点 A,B,C在同一直线上),竖直高度 CF约为多少米?(结果保留整数,参考数值:1.7)【解析】 此题考查了考查俯角的定义,要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.【答案】BCF=90,FBC=45,BC=CF.CAF=30,解得 CF=400+400400(1.7+1)=1 080(米).故竖直高度 CF约为 1080米.专项训练一、 选择题
8、1.已知 a=3,且(4tan45-b)2+=0,以 a,b,c 为边组成的三角形面积等于().A. 6B. 7 C. 8D. 9(第 2题)2如图,O为原点,点 A的坐标为(3,0),点 B的坐标为(0,4),D过 A,B,O三点,点 C为优弧 AO上的一点(不与 O,A两点重合),则 cosC的值为().二、 填空题3. 如图,ABC=60,半径为 1cm的O切 BC于点 C,若将O在 BC上向右滚动,则当O滚动到与 AC也相切时,圆心 O移动的水平距离是 cm.(第 3题)(第 4题)4.如图,ABC的顶点都在方格纸的格点上,则 sinA=.5.如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高
9、为 20cm,深为 30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡度设计为i=14.5,则AC的长为cm. (第 5题)三、 解答题6.如图,游客从某旅游景区的景点 A处下山至 C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到 C;另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲,乙两位游客从A处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 45m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 5min后,再从 B 匀速步行到 C,二人同时到达.已知缆车匀速直线运动的速度为 180m/min,山路 AC长为 2 430m,且测
10、得CAB=45,CBA=105.求:(1)索道 AB的长;(2)乙的步行速度.(第 6题)7.如图,在一笔直的海岸线 l上有 AB两个观测站,A在 B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点 P处,从 A测得小船在北偏西 60的方向,从 B测得小船在北偏东 45的方向.(1)求点 P到海岸线 l的距离;(2)小船从点 P处沿射线 AP的方向航行一段时间后,到点 C处,此时,从 B测得小船在北偏西15的方向.求点 C与点 B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)(第 7题)8.已知,如图,在坡顶 A处的同一水平面上有一座古塔 BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底 P处测得该塔的塔顶 B
11、的仰角为 45,然后他们沿着坡度为 12.4的斜坡 AP攀行了 26米,在坡 顶 A处又测得该塔的塔顶 B的仰角为 76.求:(1)坡顶 A到地面 PQ的距离;(2)古塔 BC的高度.(结果精确到 1米)(参考数据:sin760.97,cos760.24,tan764.01)(第 8题)参考答案与解析1. A 解析由已知条件得 b=4,c=5,由于 a=3,所以这个三角形是直角三角形,且两条直角边分别是 3,4,所以面积是 6.2. D 解析连接 AB,利用同弧所对的圆周角相等求解.5. 210 解析由题意,知(20+20+20)(AC+30+30)=14.5,解得 AC=210(cm). (
12、第 6题)7. (1)如图,过点 P作 PDAB于点 D,设 PD=x,由题意,知 PBD=45,PAD=30,在 RtBDP中,BD=PD=x.在 RtPDA中,AD=PD=x.AB=2,(第 7题)8. (1)过点 A作 AHPQ,垂足为 H.斜坡 AP的坡度为 12.4,设 AH=5k,则 PH=12k,由勾股定理,得 AP=13k. 13k=26.解得 k=2. AH=10.故坡顶 A到地面 PQ的距离为 10米.(2)延长 BC交 PQ于点 D. BCAC,ACPQ, BDPQ.四边形 AHDC是矩形,CD=AH=10,AC=DH.BPD=45,PD=BD.设 BC=x,则 x+10=24+DH. AC=DH=x-14.
