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1、湖南省娄底市娄星区2023年高二数学第一学期期末达标检测试题考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1平行六面体的各棱长均相等，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.2已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ）A.
2、既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件3已知集合，集合或，是实数集，则（ ）A.B.C.D.4双曲线的渐近线方程是（ ）A.B.C.D.5已知角的终边经过点，则，的值分别为A.，B.，C.，D.，6设为抛物线焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则（ ）A.3B.4C.2D.不能确定7如图，在直三棱柱中，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8下列命题中正确的是（）A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为9设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条
3、件D.既不充分也不必要条件10设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）A.5.25B.10.5C.5.5D.1111以下命题是真命题的是（）A.方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量B.若m为数据（i=1，2，3，2021）的中位数，则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.若“”为假命题，则均为假命题12如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A.B.C.8D.12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则_14函数极值点的个数是_15已知正方体的棱长为为的中点，为面内一点若点到面的距离与到直线的距离相等，则三棱锥体积的最
4、小值为_16将参加冬季越野跑的名选手编号为：，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，把编号分为组后，第一组的到这个编号中随机抽得的号码为，这名选手穿着三种颜色的衣服，从到穿红色衣服，从到穿白色衣服，从到穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.18（12分）已知直线与抛物线交于两点（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；（2）若交于，求的值19（12
5、分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD/BC，ABBCCD1，AD2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.（1）求证：平面PCD平面PAC；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20（12分）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.（1）求的值及双曲线的渐近线方程；（2）直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.21（12分）已知满足，.（1）求证：是等差数列，求的通项公式；（2）若，的前项和是，求证：.22（10分）已知函数在区间上有最大值和最小值（1）求实数、的值；（2）设，若不等式，在上恒成立，求实数的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60
6、分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用基底向量表示出向量，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，所以，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上 2.本卷共10小题，共80分.2、D【解析】由充分必要条件的定义，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及利用特殊数列的分法，即可求解.【详解】由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，则，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.故选：D.3、A【解析
7、】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可【详解】，或，故故选：A4、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.5、C【解析】利用任意角的三角函数的定义：，代入计算即可得到答案【详解】由于角的终边经过点，则,，（为坐标原点），所以由任意角的三角函数的定义：，.故答案选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用，属于基础题6、A【解析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得，由抛物线的定义可得，即可求解.【详解】由可得，准线为
8、，设，由抛物线的定义可得，因为过点作于，可得，所以，故选：A.7、D【解析】以，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得.因为，所以，故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选：D.8、D【解析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D9、B【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得
9、到；，和没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.10、B【解析】利用平均变化率的公式即得.【详解】，.故选：B.11、A【解析】A：根据方差和标准差的定义进行判断；B：根据中位数的定义判断；C：根据回归直线必过样本中心点进行判断；D：根据“且”命题真假关系进行判断.【详解】对于A，方差和标
10、准差都是刻画样本数据分散程度的统计量，故A正确；对于B，若为数据，2，3，的中位数，需先将数据从小到大排列，此时数据里面之间的数顺序可能发生变化，则为排序后的第1010个数据的值，这个数不一定是原来的，故B错误；对于C，回归直线一定经过样本点的中心，故C错误；对于D，若“”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故D错误；故选：A12、B【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为：，正三角形边上的一条高为：，所以一个正三角形的面积为：，所以多面体的表面积为：.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题
11、5分，共20分。13、#0.5【解析】导数的定义公式的变形应用，要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为：.14、0【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.【详解】因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以函数的极值点的个数是0，故答案为：0.15、#【解析】由题意可知，点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线的方程，将直线向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点，此时的面积最小，则三棱锥体积的最小【详解】因为为面内一点，且点到面的距离与到直线的距离相等，所以点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面，
12、以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则,设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，直线的方程为，即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由，得，由，得，所以与抛物线相切的直线为，此时切点为，且的面积最小，因为点到直线的距离为，所以的面积的最小值为，所以三棱锥体积的最小值为，故答案为：16、【解析】 ，所以抽到穿白色衣服的选手号码为 ，共 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.
13、【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接四边形为正方形，且为的中点又四边形为菱形，平面平面又平面OAE. （2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，则由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，设为平面的法向量，为平面的法向量，则故可取，同理故可取，所以设平面与平面所成的二面角为，则，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为18、（1）6（2）2【解析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OAOB，得，根据数量积的计算即可得答案.【小问1详解】取AB的中点为E
14、，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小问2详解】设，由ODAB交AB于D（-2，2）,（图2），得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明：取的中点，连接，因为AD/BC，ABBCCD1，AD2，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，
