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1、湖南省娄底市娄星区2023年高二数学第一学期期末达标检测试题考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1平行六面体的各棱长均相等,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.2已知数列的前n项和为,则“数列是等比数列”为“存在,使得”的( )A.
2、既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件3已知集合,集合或,是实数集,则( )A.B.C.D.4双曲线的渐近线方程是( )A.B.C.D.5已知角的终边经过点,则,的值分别为A.,B.,C.,D.,6设为抛物线焦点,直线,点为上任意一点,过点作于,则( )A.3B.4C.2D.不能确定7如图,在直三棱柱中,E是的中点,则直线BC与平面所成角的正弦值为()A.B.C.D.8下列命题中正确的是()A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为9设,是两个不同的平面,是直线且“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条
3、件D.既不充分也不必要条件10设函数,当自变量t由2变到2.5时,函数的平均变化率是()A.5.25B.10.5C.5.5D.1111以下命题是真命题的是()A.方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量B.若m为数据(i=1,2,3,2021)的中位数,则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.若“”为假命题,则均为假命题12如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为()A.B.C.8D.12二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若,则_14函数极值点的个数是_15已知正方体的棱长为为的中点,为面内一点若点到面的距离与到直线的距离相等,则三棱锥体积的最
4、小值为_16将参加冬季越野跑的名选手编号为:,采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本,把编号分为组后,第一组的到这个编号中随机抽得的号码为,这名选手穿着三种颜色的衣服,从到穿红色衣服,从到穿白色衣服,从到穿黄色衣服,则抽到穿白色衣服的选手人数为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,四边形ABCD是正方形,四边形BEDF是菱形,平面平面.(1)证明:;(2)若,且平面平面BEDF,求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.18(12分)已知直线与抛物线交于两点(1)若,直线过抛物线的焦点,线段中点的纵坐标为2,求的长;(2)若交于,求的值19(12
5、分)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AD/BC,ABBCCD1,AD2,直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.(1)求证:平面PCD平面PAC;(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20(12分)双曲线的离心率为,虚轴的长为4.(1)求的值及双曲线的渐近线方程;(2)直线与双曲线相交于互异两点,求的取值范围.21(12分)已知满足,.(1)求证:是等差数列,求的通项公式;(2)若,的前项和是,求证:.22(10分)已知函数在区间上有最大值和最小值(1)求实数、的值;(2)设,若不等式,在上恒成立,求实数的取值范围参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60
6、分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用基底向量表示出向量,即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示:不妨设棱长为1,所以,即,故异面直线与所成角的余弦值为故选:B注意事项:1.将答案写在答题卡上 2.本卷共10小题,共80分.2、D【解析】由充分必要条件的定义,结合等比数列的通项公式和求和公式,以及利用特殊数列的分法,即可求解.【详解】由题意,数列是等比数列,设等比数列的公比为,则,所以存在,使得,即充分性成立;若存在,使得,可取,即,可得,当,可得,此时数列不是等比数列,即必要性不成立,所以数列是等比数列为存在,使得的充分不必要条件.故选:D.3、A【解析
7、】先化简集合,再由集合的交集、补集运算求解即可【详解】,或,故故选:A4、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得,再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解:将双曲线的方程化为标准方程得,所以,所以其渐近线方程为:,即.故选:A.5、C【解析】利用任意角的三角函数的定义:,代入计算即可得到答案【详解】由于角的终边经过点,则,,(为坐标原点),所以由任意角的三角函数的定义:,.故答案选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用,属于基础题6、A【解析】由抛物线方程求出准线方程,由题意可得,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】由可得,准线为
8、,设,由抛物线的定义可得,因为过点作于,可得,所以,故选:A.7、D【解析】以,的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出答案.【详解】解:由题意知,CA,CB,CC1两两垂直,以,的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则令,得.因为,所以,故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选:D.8、D【解析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A,时为负值,故A错误对于B,而无解,无法取等,故B错误对于,当且仅当即时等号成立,故,D正确,C错误故选:D9、B【解析】,得不到,因为可能相交,只要和的交线平行即可得
9、到;,和没有公共点,即能得到;“”是“”的必要不充分条件故选B考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念,属于基础题;并得不到,根据面面平行的判定定理,只有内的两相交直线都平行于,而,并且,显然能得到,这样即可找出正确选项.10、B【解析】利用平均变化率的公式即得.【详解】,.故选:B.11、A【解析】A:根据方差和标准差的定义进行判断;B:根据中位数的定义判断;C:根据回归直线必过样本中心点进行判断;D:根据“且”命题真假关系进行判断.【详解】对于A,方差和标
10、准差都是刻画样本数据分散程度的统计量,故A正确;对于B,若为数据,2,3,的中位数,需先将数据从小到大排列,此时数据里面之间的数顺序可能发生变化,则为排序后的第1010个数据的值,这个数不一定是原来的,故B错误;对于C,回归直线一定经过样本点的中心,故C错误;对于D,若“”为假命题,则、中至少有一个是假命题,故D错误;故选:A12、B【解析】首先确定几何体的空间结构特征,然后求解其表面积即可.【详解】由题意知,该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体,正三角形的边长为:,正三角形边上的一条高为:,所以一个正三角形的面积为:,所以多面体的表面积为:.故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题
11、5分,共20分。13、#0.5【解析】导数的定义公式的变形应用,要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为:.14、0【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.【详解】因为,所以在上恒成立,所以在上单调递增,所以函数的极值点的个数是0,故答案为:0.15、#【解析】由题意可知,点在平面内的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,如图在底面建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,直线的方程,将直线向抛物线平移,恰好与抛物线相切时,切点为点,此时的面积最小,则三棱锥体积的最小【详解】因为为面内一点,且点到面的距离与到直线的距离相等,所以点在平面内的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,如图在底面,
12、以所在的直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则,设抛物线方程为,则,得,所以抛物线方程为,直线的方程为,即,设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为,由,得,由,得,所以与抛物线相切的直线为,此时切点为,且的面积最小,因为点到直线的距离为,所以的面积的最小值为,所以三棱锥体积的最小值为,故答案为:16、【解析】 ,所以抽到穿白色衣服的选手号码为 ,共 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接交于点,连接,要证明,只需证明平面即可;(2)以D为原点建系,分别求出平面与平面的法向量,再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.
13、【详解】(1)证明:如图,连接交于点,连接四边形为正方形,且为的中点又四边形为菱形,平面平面又平面OAE. (2)解:如图,建立空间直角坐标系,不妨设,则,则由(1)得又平面平面,平面平面,平面ABCD,故,同理,设为平面的法向量,为平面的法向量,则故可取,同理故可取,所以设平面与平面所成的二面角为,则,所以平面与平面所成的二面角的正弦值为18、(1)6(2)2【解析】(1)通过作辅助线,利用抛物线定义,结合梯形的中位线定理,可求得答案;(2)根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4,联立抛物线方程,得到根与系数的关系,由OAOB,得,根据数量积的计算即可得答案.【小问1详解】取AB的中点为E
14、,当p=2时,抛物线为C:x2=4y,焦点F坐标为F(0,1),过A,E,B分别作准线y=-1的垂线,重足分别为I,H,G,在梯形ABGI中(图1),E是AB中点,则2EH=AI+BG,EH=2-(-1)=3,因为AB=AF+BF=AI+BG,所以AB=2EH=6.【小问2详解】设,由ODAB交AB于D(-2,2),(图2),得kOD=-1,kAB=1,则直线AB的方程为y=x+4,由得,所以,由,得,即,即,可得,即,所以p=2.19、(1)证明见解析(2)【解析】(1)取的中点,连接,证明,由线面垂直的判定定理可证明平面,再利用面面垂直的判定定理可证得结论,(2)过点作于,以为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,设,先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为,求出,然后再求出平面PAB的法向量,利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明:取的中点,连接,因为AD/BC,ABBCCD1,AD2,所以,所以四边形为平行四边形,所以,所以,因为平面,平面,所以,因为,