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1、江苏省宜兴市树人中学2024届高二上数学期末质量跟踪监视试题注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试
2、结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.B.C.D.2各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则()A.B.C.D.3已知关于x的不等式的解集为空集,则的最小值为( )A.B.2C.D.44 “”是“直线与互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5已知复数满足,其中为虚数单位,则的共轭复数为( )A.B.C.D.6过点,的直线
3、的斜率等于1,则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或47设集合,则()A.B.C.D.8已知二次函数交轴于,两点,交轴于点.若圆过,三点,则圆的方程是( )A.B.C.D.9设等差数列的前n项和为,若,则( )A.60B.80C.90D.10010在等比数列中,若,则()A.B.C.D.11在数列中,若,则称为“等方差数列”,下列对“等方差数列”的判断,其中不正确的为( )A.若是等方差数列,则是等差数列B.若是等方差数列,则是等方差数列C.是等方差数列D.若是等方差数列,则是等方差数列12如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、,交其准线于点,若,且,则的值为( )A.B.C.D.二、
4、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,分别记四棱锥,的体积为,则的最小值为_14数列的前项和为,则的通项公式为_.15已知抛物线的焦点与的右焦点重合,则_.16已知抛物线上一点到其焦点的距离为10.抛物线的方程为_;准线方程为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知圆经过坐标原点和点,且圆心在轴上.(1)求圆的方程;(2)已知直线与圆相交于A、B两点,求所得弦长的值.18(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,.(1)求B的大小(2)若,求b.19(12分)
5、已知函数f(x)+alnx,实数a0(1)当a2时,求函数f(x)在x1处的切线方程;(2)讨论函数f(x)在区间(0,10)上的单调性和极值情况;(3)若存在x(0,+),使得关于x的不等式f(x)2+a2x成立,求实数a的取值范围20(12分)如图,四边形是矩形,平面平面,为中点,(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值21(12分)已知等差数列满足(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前n项和22(10分)在平面直角坐标系中,已知圆,点P在圆上,过点P作x轴的垂线,垂足为是的中点,当P在圆M上运动时N形成的轨迹为C(1)求C的轨迹方程;(2)若点,试问在x轴上是否存在点M,使得过点M
6、的动直线交C于两点时,恒有?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=选A2、D【解析】根据等比数列性质可知,成等比数列,由等比中项特点可构造方程求得,由等比数列通项公式可求得,进而得到结果.【详解】由等比数列的性质可得:,成等比数列,则,即,解得:,解得:.故选:D.3、D【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零,根的判别式小于零,可得出,再将化为
7、,由和均值不等式可求得最小值.【详解】由题意可得:,可以得到,而,可以令,则有,当且仅当取等号,所以的最小值为4.故答案为:4.【点睛】本题主要考查均值不等式,关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系,再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数,运用均值不等式,是中档题.4、A【解析】根据两直线垂直的性质求出,再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解:因为直线与互相垂直,所以,解得或,所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选:A.5、D【解析】由复数除法求得后可得其共轭复数【详解】由题意,故选:D6、A【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故选:A【点睛】本题主要
8、考查斜率的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7、C【解析】根据集合交集和补集的概念及运算,即可求解.【详解】由题意,集合,根据补集的运算,可得,所以.故选:C.8、C【解析】由已知求得点A、B、C的坐标,则有AB的垂直平分线必过圆心,所以设圆的圆心为,由,可求得圆M的半径和圆心,由此求得圆的方程.【详解】解:由解得或,所以,又令,得,所以,因为圆过,三点,所以AB的垂直平分线必过圆心,所以设圆的圆心为,所以,即,解得,所以圆心,半径,所以圆的方程是,即,故选:C9、D【解析】由题设条件求出,从而可求.【详解】设公差为,因为,故,解得,故,故选:D.10、D【解析】由等比数列的性质得,化
9、简,代入数值求解.【详解】因为数列是等比数列,所以,由题意,所以.故选:D11、B【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可【详解】选项A中,符合等差数列的定义,所以是等差数列,A正确;选项B中,不是常数,所以不是等方差数列,选项B错误;选项C中,所以是等方差数列,C正确;选项D中,所以是等方差数列,D正确故选:B12、B【解析】分别过点、作准线的垂线,垂足分别为点、,设,根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得,结合已知条件求得,分析出为的中点,进而可得出,即可得解.【详解】如图,分别过点、作准线的垂线,垂足分别为点、,设,则由己知得,由抛物线的定义得,故,在直角三角形中,因为,则,从而
10、得,所以,则为的中点,从而.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】设,用参数表示目标函数,利用均值不等式求最值即可.【详解】取线段AD中点为F,连接EF、D1F,过P点引于M,于N,则平面,平面,则,设,则,即,当且仅当时,等号成立,故答案为:14、【解析】讨论和两种情况,进而利用求得答案.【详解】由题意,时,时,则,于是,故答案为:15、【解析】求出抛物线的焦点坐标即为的右焦点可得答案.【详解】由题意可知:抛物线的焦点坐标为,由题意知表示焦点在轴的椭圆,在椭圆中:,所以,因为,所以.故答案为:.16、 . .【解析】由题意得:抛物线焦点为F(0,),准线方程
11、为y=因为点到其焦点的距离为10,所以根据抛物线的定义得到方程,得到该抛物线的准线方程【详解】抛物线方程抛物线焦点为F(0,),准线方程为y=,又点到其焦点的距离为10,根据抛物线的定义,得9+=10,p=2,抛物线准线方程为故答案为:,.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)根据条件可以确定圆心坐标和半径,写出圆的方程;(2)先求圆心到直线的距离,结合勾股定理可求弦长.【详解】(1)由题意可得,圆心为(2,0),半径为2.则圆的方程为;(2)圆心(2,0)到l的距离为d,=1,.【点睛】圆的方程求解方法:(1)直接法:确定圆心,求出
12、半径,写出方程;(2)待定系数法:设出圆的方程,可以是标准方程也可以是一般式方程,根据条件列出方程,求解系数即可.18、(1);(2)【解析】(1)由正弦定理,可得,进而可求出和角;(2)利用余弦定理,可得,即可求出.【详解】(1)由,得,因为,所以,又因为B为锐角,所以(2)由余弦定理,可得,解得【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.19、(1)4xy+20(2)答案见解析(3)(0,2)(2,+)【解析】(1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率和切点坐标,由直线的点斜式方程可得所求切线的方程;(2)求得f(x)的导数,分a、0a两种情况讨论求
13、出答案即可;(3)由题意可得存在x(0,+),使得不等式成立,令,x0,求得其最小值,再把最小值看成关于的函数,结合其单调性和极值可得答案【小问1详解】函数f(x)的定义域为(0,+),当a2时,导数为4,可得f(x)在x1处的切线的斜率为4,又f(1)6,所以f(x)在x1处的切线的方程为y64(x1),即4xy+20;【小问2详解】f(x)的导数为f(x)a2,x0,令f(x)0,可得x(舍去),当010,即a时,当0x时,f(x)0,f(x)递减;当x10时,f(x)0,f(x)递增所以f(x)在(0,)上递减,在(,10)上递增,f(x)在x处取得极小值,无极大值;当10即0a时,f(
14、x)0,f(x)在(0,10)上递减,无极值综上可得,当a时,f(x)在(0,)单调递减,在(,10)上单调递增,f(x)在x时取得极小值,无极大值当0a时,f(x)在区间(0,10)上递减,无极值;【小问3详解】存在x(0,+),使得不等式f(x)2+a2x成立等价为存在x(0,+),使得不等式alnx20成立令,x0,g(x),因为a0,可得当0x时,g(x)0,g(x)递减;当x时,g(x)0,g(x)递增,所以当x时,g(x)取得极小值,且为最小值,由题意可得,令,令h(x)0,可得x2,当x(0,2)时,h(x)0,h(x)递增;当x(2,+)时,h(x)0,h(x)递减所以当x2时,h(x)取得极大值,且为最大值h(2)0所以满足的实数a的取值范围是(0,2)(2,+)20、(1)证明见解析;(2)【解析】(1)利用面面垂直的性质,证得平面,进而可得,平面即可得证;(