《四川省达州市万源中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省达州市万源中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四川省达州市万源中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1、直线的倾斜角为( )A.B.C.D.2、若直线l的方向向量为,平面的法向量为,且,则m的值( )A.B.C.4D.3、已知直线与圆交于A,B两点,则( )A.B.C.4D.84、“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的门洞如图,某园林中的圆弧形挪动高为2.5m,底面宽为1m,则该门洞的半径为( )A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m5、若双曲线（,）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.6、已
2、知直线和点,点,点P是直线l上一动点,当最小时,点P的坐标是( )A.B.C.D.7、已知圆 ,直线,直线l被圆C截得的弦长最短时,实数m的值为( )A.B.C.1D.8、已知椭圆,直线,若椭圆上存在关于直线l对称的两点,则实数m的取值范围是 ( )A.B.C.D.二、多项选择题9、已知椭圆的左、右焦点分别是、,点P为椭圆C上一点, 则下列关于椭圆C的结论正确的有( )A.长轴长为5B.离心率为C.的周长为16D.的面积为1610、如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为顶点,P为所在棱的中点,则满足的是( )A.B.C.D.11、以下四个命题表述正确的是( )A.圆与圆恰有三条公切线
3、B.直线与圆一定相交C.直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是D.已知直线不经过第三象限,则a的取值范围12、已知双曲线的左、右焦点分别是,过右焦点的直线AB交双曲线右支于A,B两点,的内切圆圆心为M,半径为,的内切圆圆心为N,半径为,则下列结论正确的是( )A.直线MN垂直于x轴B.周长为定值C.与之和为定值D.与之积为定值三、填空题13、若直线与直线垂直,则实数m的值为_.14、已知双曲线的左、右焦点分别是,点M为双曲线上一点,若M到原点的距离,则的面积是_.15、已知圆,直线若圆上有两个点到直线l的距离等于1,则实数b的取值范围是_.16、已知椭圆的左、右焦点分别是,点A是椭圆
4、上一点,的内切圆的圆心为M,若,则椭圆C的离心率为_.四、解答题17、有一辆公交车,依次设了A,B,C,D,E,F,G共7个站,甲乙二人都从A站上车,假设他们从后面每个站下车是等可能的.（1）求这两个人在不同站点下车的概率;（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.18、如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点（1）求直线到平面的距离;（2）求直线与平面所成角的正弦值19、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.（1）求角A的大小;（2）若,求的面积S的最大值20、已知圆C过点和点,并且圆心在直线上.点P是直线上一动点,过点P引圆C的两条切线PM、PN,切点分别为M,N.（1）求圆C的标准
5、方程;（2）当四边形PMCN的面积最小时,求点P的坐标及直线MN的方程.21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,平面ABCD,M为线段PB上的一点（1）证明：平面平面PBD.（2）当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时,求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值22、已知椭圆的左、右焦点分别为,点A是椭圆上不同于左右顶点的一动点,点A关于x轴的对称点为点B.当直线AB过左焦点时,.（1）求椭圆C的方程;（2）若直线与椭圆交于另外一点P（点P和点A不重合）,证明直线AP过定点.参考答案1、答案：A解析：由直线,则,设直线的倾斜角为,所以,所以.故选：A.2、答案：B解析：若
6、,则有,即,解得.故选：B.3、答案：B解析：由题意得圆O的半径为,圆心O到l的距离,所以,故选：B.4、答案：B解析：设半径为R,解得,化简得.故选：B.5、答案：A解析：由几何关系可得,双曲线的渐近线方程为,圆心到渐近线距离为,则点到直线的距离为,即,整理可得,双曲线的离心率故选A6、答案：C解析：依题意,设关于直线的对称点,所以,解得,所以,由直线的对称性知,则,当且仅当P,B三点共线时,等号成立,即取到最小,由及知直线的方程为,联立,解得,即.所以最小时,点P的坐标是.故选：C.7、答案：B解析：因为直线,方程可化为,令,解得,故直线l过定点,且在圆内,又,故当直线l被圆C截得的弦长最
7、短时,有,则,解得,故选：B.8、答案：D解析：设,线段AB的中点,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线对称,所以直线AB的方程可以设为,联立,化为,解得,而,所以,即,代入直线可得,所以,即实数m的取值范围是.故选：D.9、答案：BCD解析：由椭圆,得：,对于A项：长轴长为,故A项错误;对于B项：离心率,故B项正确;对于C项：由椭圆定义得：,的周长为,故C项正确;对于D项：因为,所以得：,解得：,故D项正确.故选：BCD.10、答案：AD解析：在正方体中,对各选项建立相应的空间直角坐标系,令正方体棱长为2,点,对于A,A是;对于B,MN与OP不垂直,B不是;对于C,MN与OP不垂直,C不是
8、;对于D,MN与OP垂直,D是.故选：AD11、答案：ABC解析：对于A,圆,圆心,半径,圆,圆心,半径,又,所以两圆外切,故两圆有3条公切线,故A正确;对于B,圆,圆心,半径,圆心到直线的距离直线,所以直线与圆相交,故B正确;对于C,根据题意画出图形,如图所示,直线恒过点,曲线表示以为圆心,半径的上半圆,当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离,即,解得;当直线过时,直线的斜率,所以直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围为,故C正确;对于D,当,即直线斜率不存在时,此时,不过第三象限; 当时,不过第三象限,则,解得综上可知,实数a的取值范围,故D错误;故选：ABC.12、答案：AD解析：
9、由题意,可得如下示意图,其中C,D,F,E,G为内切圆与各边切点,由图知：,由,则令G横坐标为,则,即G为双曲线右顶点,同理,内切圆在x轴上的切点也为G,又MG,NG都垂直于x轴,所以直线MN垂直于x轴,A对;由周长为,而的长不定,故周长不为定值,B错;由,分别平分,且,在中,又,所以,故为定值,D对.令,则,显然为直线AB的倾斜角,其大小不定,故与之和不为定值,C错.故选：AD.13、答案：解析：因为直线的法向量为,直线的法向量为由于,垂直,则对应法向量相互垂直,所以,即,则.故答案为：.14、答案：16解析：如下图所示： 不妨取点M在双曲线的右支上,由可得点M在圆上,又易知,所以即为圆的直
10、径,所以,利用双曲线定义可得,利用勾股定理可得,所以,可得,因此的面积为.故答案为：16.15、答案：解析：根据题意,圆的圆心为,半径为2,因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1,则圆心到直线距离为：,所以此时b的取值范围是故答案为：16、答案：解析：如图所示：不妨取点A在x轴上方,设点A的纵坐标为,点M的纵坐标为,的内切圆半径为r,椭圆焦距为,取线段的中点为N,设点N的纵坐标为,由可得,即又O为的中点,可得,即,所以O,M,N三点共线,且,可得,又因为,所以;利用椭圆定义以及等面积法可得,所以,可得,即椭圆离心率为.故答案为：.17、答案：（1）（2）解析：（1）甲乙下车方式有如下36种结
11、果：, ,甲乙两人在不同站点下车的结果有30个,所以所求的概率为.（2）由（1）可知甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有25个,因此所求概率为18、答案：（1）;（2）.解析：（1）为正方体,平面,平面,平面,则到平面的距离即为点B到平面的距离,以点A为坐标原点,AD,AB,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、,则,设平面的法向量为,由,得,令,则,则,则B到平面的距离,则到平面的距离为;（2）,直线与平面所成角的正弦值为.19、答案：（1）（2）解析：（1）由已知及正弦定理得,所以,所以,又,.（2）根据余弦定理得,由基本不等式得,的面积,当且仅当时等号成立,的面积
12、S的最大值为20、答案：（1）（2）,解析：（1）AB的中点为,AB的方向向量即为AB中垂线的法向量,利用点法式方程则AB中垂线方程为,由得圆心半径,圆的标准方程为.（2）由于,故最小,即最小时,四边形面积最小此时,假设直线PC方程为,带入圆心得到直线PC方程,由得圆心M、N为圆C与以PC为直径的圆的交点.以PC为直径的圆,圆心为P、C的中点,半径r为：则方程为：联立得到直线MN的方程为：.21、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：由底面ABCD是菱形可知,又平面ABCD,平面ABCD,所以,又,AC,平面PAC,所以平面PAC,由于平面PBD,可得平面平面PBD;（2）连结PO,过
13、点A作PO的垂线,垂足为H,连结MH,由（1）可得,又,且PO,平面PBD,所以平面PBD;易知为AM与平面PBD所成的角,因为AH为定值,且,所以当点M为PB的中点时,AM取得最小值,此时取得最大值;以O为坐标原点,分别以OA,OB为x,y轴,过O点且平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如下图所示：又底面ABCD是菱形,所以,则,点M为PB的中点,所以,设平面MAC的一个法向量为,则,解得,令,则,即可得,易知平面ABCD的一个法向量为,设平面MAC与平面ABCD夹角为,则,即平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值为22、答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由已知得直线AB过左焦点时,AB即为通径,可得;又,且,解得,;所以椭圆C的方程为（2）由题意得直线AP的斜率一定存在,如下图所示：设直线AP的方程为,联立直线AP和椭圆方程,消去y可得,所以可得,因为B,P三点共线,可得,所以,即,即所以,也即,可得,所以直线AP的方程为即直线AP恒过定点.
