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1、2023-2024学年选择性 必修一 第三章 圆锥曲线与方程 章节测试题学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1、已知方程表示双曲线，则k的取值范围是( ).A.B.C.D.或2、已知双曲线的左、右焦点分别为、，P、Q是双曲线上关于原点对称的两点，四边形的面积为2，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.2D.3、设双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，且的面积为，则C的方程为( )A.B.C.D.4、已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是( )A.B.C.D.5、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
2、k的值是( )A.16B.C.-16D.6、过双曲线，的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.B.2C.D.47、设双曲线的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为( )A.B.2C.3D.8、已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点.若点M是线段的中点，且，则( )A.1B.C.2D.9、已知，分别是双曲线的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且，则的面积为( )A.8B.C.16D.10、若圆上存在一点P，过点P可作两条直线PA、
3、PB与双曲线相切，且，则r的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题11、已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点是双曲线C在第一象限内的点，则的取值范围为_.12、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，O为原点，若以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且，则C的渐近线方程为_.13、已知m，b为实数，经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则_.14、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，且与双曲线的左支交于x轴上方的一点P，当时，直线的斜率为_.15、椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为_.16、若，是椭圆的两个焦点，点P，Q为
4、椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_.三、解答题17、已知椭圆的长轴长为8，定直线的方程为，与椭圆共焦点的双曲线的离心率是椭圆的离心率的2倍.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）过点的直线l与双曲线交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程.18、已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为.（1）求C的标准方程；（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求AB的长.19、已知双曲线，的焦距为4，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的左焦点F分别作斜率为，的直线与，直线交双曲线于A，B两点，直线交双曲线于C，D两点，设M，N分
5、别为AB与CD的中点，若，试求与的面积之比.20、直线与双曲线相交于A，B两点.（1）若，求线段AB的长；（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？参考答案1、答案：A解析：由，得.2、答案：A解析：由已知得，所以，所以，可得，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，所以，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以，所以，故该双曲线的离心率.故选A.3、答案：B解析：直线为双曲线的一条渐近线，设双曲线C的方程为，则右焦点为，故右焦点F到直线的距离，故C的方程为.故选B.4、答案：D解析：因为，所以，所以，所以，记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线的定义可得，可得，由勾股定理知，
6、代入上式可得，整理得，即，所以.故选D.5、答案：C解析：双曲线方程可化为，易知，所以双曲线的焦点在y轴上，且，所以，又因为虚轴长是实轴长的2倍，所以，解得.故选C.6、答案：B解析：双曲线的渐近线为，令，得，不妨取，左焦点为，为正三角形，即，即，.故选B.7、答案：D解析：由题意可知，设，可得，因为，所以，且，由可得，所以双曲线的离心率.故选D.8、答案：D解析：易知OM是的中位线，所以，由，得，从而是等腰三角形，又，所以，即渐近线的倾斜角为，因此.故选D.9、答案：C解析：因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以.故选C.10、答案：B解析：设点，且
7、过点P与双曲线相切的直线方程为，直线PA、PB的斜率分别为，联立得，则，且，整理可得，且方程的两个根分别为，.因为，所以，即，整理得，即点在圆上，圆心为，半径为1，又在圆上，圆心为，半径为r，由圆与圆有交点可得，解得，故选B.11、答案：解析：由双曲线方程可知，则，点在双曲线上，且有，令，则，则，当且仅当，即时等号成立，双曲线渐近线的斜率为，的取值范围为.12、答案：解析：因为以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，所以，又，所以，所以，所以.故渐近线方程为.13、答案：1解析：因为点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆方程为，又椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，解得.14、答案：解析：设直线与圆相切
8、于点D，连接DO，过点作于E，则，由点P位于双曲线的左支，可得，在等腰中，则，即，解得或（舍），故，则直线的斜率为.15、答案：解析：因为点B，A关于原点对称，所以点B也在椭圆上，设左焦点为，因为，所以，因为O是直角三角形ABF斜边的中点，所以，所以，所以，由于，所以，易知当时，离心率取得最大值，为.16、答案：8解析：由已知及对称性得四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知可得.所以四边形的面积为8.17、答案：（1）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为（2）解析：（1）由椭圆的长轴长为8，得，即，由，解得，所以，故椭圆的标准方程为，离心率.设双曲线的标准方程为（，），则，由题意可知双
9、曲线的离心率为，则，解得，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）设，则，两式作差可得，即，即，所以直线l的斜率为3，所以直线l的方程为，即.18、答案：（1）（2）解析：（1）由题意可设C的标准方程为（，），则，结合，解得，故C的标准方程为.（2）由（1）知C的右顶点为，可设直线l的方程为.联立消去y可得，解得或.则两个交点的坐标分别为，.故.19、答案：（1）（2）解析：（1）由题意得，故，所以，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的方程为.（2）易知，则直线的方程为，由得，则，所以，所以AB的中点，因为，所以可用代替，得，当，即时，直线MN的方程为，过点，设为E.当时，直线MN的方程为，令，得，所以直线MN也过定点，所以.20、答案：（1）（2）解析：（1）当时，联立消去y，整理得，所以，则，所以.（2）联立消去y，整理得，由题意知，即，所以，则，若以AB为直径的圆经过坐标原点，则，即，所以，满足要求.
