《2023-2024学年北师大版（2019）选择性必修一 第三章 空间向量与立体几何单元测试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年北师大版（2019）选择性必修一 第三章 空间向量与立体几何单元测试卷（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年北师大版（2019）选择性必修一 第三章 空间向量与立体几何 单元测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1、如图,空间四边形OABC中,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )A.B.C.D.2、正三棱锥的侧棱两两垂直,D,E分别为棱PA,BC的中点,则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )A.B.C.D.3、如图,在四面体OABC中,.点M在OA上,且满足,N为BC的中点,则( )A.B.C.D.4、在长方体中，设与交于点O，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5、如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )A.B.C
2、.D.6、过，两点的直线的一个方向向量为，则( )A.B.C.-1D.17、如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成.在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )A.B.C.D.8、在三棱锥中，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )A.B.C.D.9、如图，在四面体中，点M在上，且，N为的中点，则( )A.B.C.D.10、已知的三个顶点为,则BC边上的中线长为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题11、在正方体中,E,F分别为棱AD,的中点,则异面直线与DF所成角的正弦值为_.12、已知直线l经过点,且其一个方向向量为,则直线
3、l的方程为_.13、已知四棱锥的底面是矩形，平面底面，且，则异面直线与所成角的余弦值为_.14、如图，在正方体中，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_.15、如图,在四棱锥中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD,点Q是侧棱PD的中点,点M,N分别在边AB,BC上,当空间四边形PMND的周长最小时,点Q到平面PMN的距离为_.16、已知点,平面a经过原点O,且垂直于向量,则点A到平面a的距离为_.三、解答题17、如图所示，在三棱锥中，O为的中点，平面，侧面与侧面均为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.18、如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点E在线段上（不
4、含端点）.（1）是否存在点E，使得平面？（2）是否存在点E，使得平面平面？19、如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,M为CE的中点.（1）求证:平面ADEF;（2）求证:平面BDE.20、如图,在直三棱柱中,点D是AB的中点.求证：(1);(2)平面.参考答案1、答案：B解析：由题意可得,.故选：B.2、答案：D解析：设,以A为坐标原点,分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.则,则.从而异面直线PC与DE所成角的余弦值为.故选D.3、答案：D解析：如图,连接ON,N是BC的中点,.故选：D.4、答案：D解析：以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空
5、间直角坐标系，则，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选D.5、答案：D解析：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.故选D.6、答案：C解析：依题意，得，解得.故选C.7、答案：A解析：分别取DE,DC的中点O,F,则点A的轨迹是以AF为直径的圆,以OA,OE为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系,则,平面ABCD的其中一个法向量为,由,设,则,记直线与平面ABCD所成角为,则,设,所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大
6、为,故选：A.8、答案：A解析：由题意，得，则，设平面的一个法向量是，则即令，则，所以，故选A.9、答案：B解析：连接，是的中点，.10、答案：C解析：BC边上的中点为,所以,故选：C.11、答案：解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,则,所以与DF所成角的正弦值为.故答案为:.12、答案：解析：因为直线l的一个方向向量为,则直线的斜率,又直线过点,故所求直线方程为,即.故答案为：.13、答案：解析：如图，过点P作于点O，以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，z轴，过点O且与平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，设异面直线与所成的角为，所以.14、答案：解析
7、：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，所以，设，则，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以，所以因为，所以，即，即，所以，所以，又，所以.15、答案：或解析：要使得空间四边形PMND周长最小,只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面,延长DC至,使得,于是点N在线段的垂直平分线上,所以,因为PD为定值,故当点P,M,N和共线时,空间四边形PMND的周长最小,易得,即得,即,所以,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,由题意可得,则,设是平面PMN的一个法向量,则.即得,令,得
8、,所以点Q到平面PMN距离.故答案为:.16、答案：解析:由题意,所以点A到平面a的距离为.故答案为:.17、答案：解析：因为与均为等边三角形，所以.连接，则.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，.设平面的一个法向量为，则令，则，所以.易知平面的一个法向量为.所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18、答案：（1）存在点E，使得平面（2）不存在点E，使得，即不存在点E，使得平面平面解析：（1）底面为正方形，又平面，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.，设，则.设平面的一个法向量为，则即令，则，.若平面，则，解得，易知，故
9、存在点E，使得平面.（2），设平面的一个法向量为，则令，则，.设，则，易知.设平面的一个法向量为，则令，则，.若平面平面，则，即，此方程无解，不存在点E，使得，即不存在点E，使得平面平面.19、答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析:（1）根据题意可知平面平面ABCD,平面平面,又ADEF是正方形,所以,平面ADEF,所以平面ABCD,即,两两垂直;以D为原点,分别以,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则,又M为CE的中点,所以,则,所以,故,共面.又平面ADEF,所以平面ADEF;（2）,易知,所以;又,可得;又,DB,平面BDE,所以平面BDE.20、答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：（1）直三棱柱,因为,所以.AC,BC,两两垂直.如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则,.（2）设与的交点为E,则.,.平面.平面,平面.
