《新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.7《正弦定理、余弦定理的综合应用》教案 (原卷版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.7《正弦定理、余弦定理的综合应用》教案 (原卷版)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节正弦定理、余弦定理的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).图图2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).4.坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0
2、，.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是0，).()二、教材改编1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_m.2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米.3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.考点1解三角形中
3、的实际问题利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解.(4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张
4、角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为_米.(1)实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河对岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BDC中，BC；在ABC中，应用余弦定理求AB(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等).
5、1.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15的方向上，这时船与灯塔的距离为_km.2.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.考点2平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.
6、具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面积为，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的长.考点3与三角形有关的最值(范围
7、)问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范
8、围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如ABC，0A，bcabc，三角形中大边对大角等.备选例题设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A，且B为钝角.(1)证明：BA；(2)求sin Asin C的取值范围.1.在钝角ABC中 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos Absin A，则sin Asin C的最大值为()A. B. C.1 D.2.在ABC中，b，B60，(1)求ABC周长l的范围；(2)求ABC面积最大值.正弦定理、余弦定理的综合应用一、选择题1.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行
9、走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角.前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A.50(1)m B.100(1)mC.50 m D.100 m2.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，则cos C的最小值为()A. B. C. D.3.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，则ABC面积的最大值为()A.8 B.4 C.2 D.4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积为Sc，则ab的最小值为
10、()A.8 B.10 C.12 D.145.在ABC中，sin B，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD2CD，则cosBAC()A. B. C. D.二、填空题6.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里.7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A.若a4，则ABC周长的最大值为_.8.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为_.三、解答题9.在四边形ABCD中，ADBC
11、，AB，A120，BD3.(1)求AD的长；(2)若BCD105，求四边形ABCD的面积.10.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B3atan A.(1)求的值；(2)若a2，求ABC面积的最大值.1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B2sin Acos C0，则当cos B取最小值时，()A. B. C.2 D.2.海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地
12、，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)()A.1 255步 B.1 250步C.1 230步 D.1 200步3.如图所示，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足，若DE2，则cos A_.4.在ABC中，a，b，c分
13、别为内角A，B，C所对的边，且2cb2acos B，a.(1)若c，求ABC的面积；(2)若ABC为锐角三角形，求bc的取值范围.1.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_.2.如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c4，b2，2ccos Cb，D，E分别为线段BC上的点，且BDCD，BAECAE.(1)求线段AD的长；(2)求ADE的面积.9
