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1、北京市十五中2024届高三下学期初考试数学试题考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为ABC2D2已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD3双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，
2、则双曲线C的焦距为（ ）A3BC6D4执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）ABCD5如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）ABCD6已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的渐近线方程为（ ）ABCD7若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）AEBFCGDH8函数的图像大致为（ ）.ABCD 9函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像
3、关于轴对称，则的最小值为（ ）ABCD10定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、四点的横坐标依次为、，则函数的单调递减区间是（ ）ABCD11已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）ABCD12已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，求_.14已知向量，若满足，且方向相同，则_15函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_16在中，则_，的面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步
4、走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；（2）证明：数列是等比数列；（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率18（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C（）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线与曲线C交于P，Q两点，求
5、的值19（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递
6、的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.20（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）
7、根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82821（12分）已知函数，函数.（）判断函数的单调性；（）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.22（10分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是边长为2的正三角形，为线段的中点（1）求证：平面平面；（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给
8、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A2、C【解题分析】根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【题目详解】因为平面向量，满足，且， 所以，所以，所以 ，所以，所以与的夹角为.故选：C【题目点拨】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.3、A【解题分析】根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.【题目详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为取右焦点，一条渐近线则点到的距离为，由所以，则又所以所以焦距为
9、：故选：A【题目点拨】本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.4、B【解题分析】根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【题目详解】执行框图如下：初始值：，第一步：，此时不能输出，继续循环；第二步：，此时不能输出，继续循环；第三步：，此时不能输出，继续循环；第四步：，此时不能输出，继续循环；第五步：，此时不能输出，继续循环；第六步：，此时要输出，结束循环；故，判断条件为.故选B【题目点拨】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.5、A【解题分析】设所求切线的方程为，联
10、立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【题目详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得，由，解得，方程为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【题目点拨】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.6、D【解题分析】根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.【题目详解】如图，因为为等腰三角形，所以，,，又，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D【题目
11、点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.7、C【解题分析】由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.【题目详解】由，所以，对应点.故选：C【题目点拨】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.8、A【解题分析】本题采用排除法: 由排除选项D；根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时, 排除选项B；【题目详解】对于选项D:由题意可得, 令函数 ,则,;即.故选项D排除;对于选项C：因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;故选项:A【题目点拨】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶
12、性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.9、B【解题分析】根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.【题目详解】由于，函数最高点与最低点的高度差为，所以函数的半个周期，所以，又，则有，可得，所以，将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，所以的最小值为1，故选：B.【题目点拨】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.10、B【解题分析】先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数
13、的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.【题目详解】若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.对函数求导得，由得，由图象可知，满足不等式的的取值范围是，因此，函数的单调递减区间为.故选：B.【题目点拨】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.11、A【解题分析】根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得
14、出【题目详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.故选：A【题目点拨】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题12、A【解题分析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【题目详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以 的周期为， 则， 所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.【题目点拨】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】求出向
