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1、河南南阳市2024届高三下学期押题卷第四套（全国统一考试考前训练3月2日）数学试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，则的最小值为（ ）ABCD2阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）ABCD3已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与
2、双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD4已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）ABC2D6等差数列中，则数列前6项和为（）A18B24C36D727已知集合，则( )ABCD8若的内角满足，则的值为（ ）ABCD9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）ABCD10已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，
3、B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD11某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）ABCD12已知集合，集合，则AB或CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13复数为虚数单位）的虚部为_14函数满足，当时，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为_.15已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，则球的体积为_16设，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数在上的最大值为3.（1）求的值及函数的单调递增区间;（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.18（12分）已知数列的前项和为
4、，且满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.19（12分）在中，（）求角的大小；（）若，求的值20（12分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.21（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为 （1）求线段长的最小值； （2）求点的轨迹方程22（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最大值为，若，证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每
5、小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解题分析】 ,选B2C【解题分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案.【题目详解】由题意，第1次循环，满足判断条件；第2次循环，满足判断条件；第3次循环，满足判断条件； 可得的值满足以3项为周期的计算规律，所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.3A【解题分析】直线的方程为，令和双曲线
6、方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【题目详解】由题意可知直线的方程为,不妨设.则，且将代入双曲线方程中，得到设则由，可得，故则，解得则所以双曲线离心率故选：A【题目点拨】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.4C【解题分析】先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【题目详解】，且)，由得或，即的定义域为或，（且） 令，其在单调递减，单调递增，在上是单调函数，其充要条件为即.故选：C.【题目点拨】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条
7、件的判断，属于基础题.5C【解题分析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.6C【解题分析】由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.【题目详解】等差数列中，即，故选C.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.7B【解题分析】先由得或，再计算即可.【题目详解】由得或
8、，,又，.故选：B【题目点拨】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.8A【解题分析】由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【题目详解】由题意，角满足，则，又由角A是三角形的内角，所以，所以，因为，所以.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.9C【解题分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球
9、的表面积.【题目详解】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为，由正弦定理可得，解得， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以，该几何体外接球的表面积为：.故选：C【题目点拨】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.10D【解题分析】根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率【题目详解】由题意，又，在中，即，故选：D【题目点拨】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示
10、，然后用余弦定理建立关系式11C【解题分析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前11第一圈24是第二圈311是第三圈 426是第四圈 557是第五圈 6120否故退出循环的条件应为k5?本题选择C选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别12C【解题分析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。131【解题分析】试题分析：，即虚部为1，故填：1.考点：复数的代数运算14【解题分析】由已知，在上有3个根，分，
11、四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【题目详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.15【解题分析】由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的
12、对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.【题目详解】解：因为，为正三角形，所以，因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，所以球的体积为故答案为：【题目点拨】此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.16121【解题分析】在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.【题目详解】令，得，令，得，两式相加，得，所以.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明
13、、证明过程或演算步骤。17（1）,函数的单调递增区间为；（2）.【解题分析】（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.【题目详解】解：（1） 由已知，所以 因此令得因此函数的单调递增区间为 （2）由已知，由得，因此所以 因为为锐角三角形，所以，解得因此，那么【题目点拨】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.18（1）（2），.【解题分析】（1）根据数列的通项与前n项和的关系式，即求解数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用等比数列的前n项和公式和裂项法，求得，结合题意，即可求解.【题目详解】（1）由题意，当时，由，解得；当时，可得，即，显然当时上式也适合，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以.因为对恒成立，所以，.【题目点拨】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n项和公式，
