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1、甘肃省玉门市一中2024届学业水平测试数学试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则( )ABCD2下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是( )ABCD3在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时
2、与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则( )ABCD4已知数列中,(),则等于( )ABCD25已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为( )A1BC2D6已知复数z满足iz2+i,则z的共轭复数是()A12iB1+2iC12iD1+2i7函数的一个单调递增区间是( )ABCD8已知函数(其中,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:直线是函数图象的一条对称轴;点是函数的一个对称中心;函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是( )ABCD9设实数满足条件则的最大值为( )A1B
3、2C3D410设函数,则使得成立的的取值范围是( )ABCD11如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,ABCDO,且ABCD,SOOB3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为( )ABCD12一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13易经是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_.14函数满足,当时,若
4、函数在上有1515个零点,则实数的范围为_.15某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是_;最长棱的长度是_16已知平面向量、的夹角为,且,则的最大值是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆过点,设椭圆的上顶点为,右顶点和右焦点分别为,且(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交椭圆于,两点,设直线与直线的斜率分别为,若,试判断直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由18(12分)已知函数的图象在处的切线方程是.(1)求的值;(2)若函数,讨论的单调性与极值;(3)证明:.19(12分)已知奇函数的定义域为,且
5、当时,.(1)求函数的解析式;(2)记函数,若函数有3个零点,求实数的取值范围.20(12分)已知向量,函数(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值21(12分)已知,不等式恒成立.(1)求证:(2)求证:.22(10分)已知函数.()若是第二象限角,且,求的值;()求函数的定义域和值域.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解题分析】,故选B点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,
6、既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系. 2B【解题分析】分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【题目详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.【题目点拨】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.3D【解题分析】由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即
7、半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【题目详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以. 故选:D【题目点拨】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养4A【解题分析】分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的
8、周期数列,问题得以解决.【题目详解】解:,(),数列是以3为周期的周期数列,故选:A.【题目点拨】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.5B【解题分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【题目详解】可行域如图中阴影部分所示,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).故选:B.【题目点拨】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.6D【解题分析】两边同乘-i,化简即可得出答案【题目详解】iz2+i两边同乘-i得z=1-2i,共
9、轭复数为1+2i,选D.【题目点拨】的共轭复数为7D【解题分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【题目详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D【题目点拨】本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.8C【解题分析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否详解:因为为
10、对称中心,且最低点为,所以A=3,且 由 所以,将带入得 ,所以由此可得错误,正确,当时,所以与 有6个交点,设各个交点坐标依次为 ,则,所以正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题9C【解题分析】画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【题目详解】如图所示:画出可行域和目标函数,即,表示直线在轴的截距加上1,根据图像知,当时,且时,有最大值为.故选:.【题目点拨】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.10B【解题分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而
11、将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【题目详解】由题意知:定义域为,为偶函数,当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【题目点拨】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.11D【解题分析】可过点S作SFOE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tanCSF的值.【题目详解】如图,过点S作SFOE,交AB于点F,连接CF,则
12、CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,又OB3,SOOC,SOOC3,;SOOF,SO3,OF1,;OCOF,OC3,OF1,等腰SCF中,.故选:D.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.12A【解题分析】作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【题目详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,平面,且,这个四棱锥中最长棱的长度是故选【题目点拨】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小
13、题5分,共20分。13【解题分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个,还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。【题目详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个,全为阴线的一个,1阴2阳的3个,1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。从8个卦中任取2卦,共有种可能,两卦中共2阳4阴的情况有,所求概率为。故答案为:。【题目点拨】本题考查古典概型,解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响,我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,这
14、样才能正确地确定基本事件的个数。14【解题分析】由已知,在上有3个根,分,四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【题目详解】由已知,的周期为4,且至多在上有4个根,而含505个周期,所以在上有3个根,设,易知在上单调递减,在,上单调递增,又,.若时,在上无根,在必有3个根,则,即,此时;若时,在上有1个根,注意到,此时在不可能有2个根,故不满足;若时,要使在有2个根,只需,解得;若时,在上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意;综上,实数的范围为.故答案为:【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题.15 【解题分析】由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥,底面为直