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1、广东省广州市顺德区广州第一中学2024届高三5月中旬质量检测试题数学试题试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )ABCD2在各项均为正数的等比数列中,若,则( )AB6C4D53如图所示,网格纸上小正方
2、形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )ABCD4已知等差数列的前n项和为,且,则( )A4B8C16D25数列an,满足对任意的nN+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列an的前100项的和S100=( )A132B299C68D996己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是( )ABCD7若集合,则( )ABCD8已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为( )A1.5B2.5C3.5D4.59函数()的图象的大致形状是( )ABCD10中,点在
3、边上,平分,若,则( )ABCD11要得到函数的图象,只需将函数的图象( )A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位12一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知集合,则_.14设常数,如果的二项展开式中项的系数为-80,那么_.15已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为_.16抛物线上到其焦点距离为5的点有_个三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,在正四棱柱中,已知,.(1)求异面直
4、线与直线所成的角的大小;(2)求点到平面的距离.18(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.19(12分)如图,为等腰直角三角形,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE. (1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.20(12分)已知等差数列和等比数列满足:(I)求数列和的通项公式;(II)求数列的前项和.21(12分)
5、在中,角、的对边分别为、,且.(1)若,求的值;(2)若,求的值.22(10分)已知函数,它的导函数为(1)当时,求的零点;(2)当时,证明:参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性,结合各选项进行判断即可.【题目详解】A:为非奇非偶函数,不符合题意;B:在上不单调,不符合题意;C:为偶函数,且在上单调递增,符合题意;D:为非奇非偶函数,不符合题意.故选:C.【题目点拨】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.2、D【解题分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算【题目
6、详解】由题意故选:D【题目点拨】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则掌握等比数列的性质是解题关键3、B【解题分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积【题目详解】解:分析题意可知,如下图所示,该几何体为一个正方体中的三棱锥,最大面的表面边长为的等边三角形,故其面积为,故选B【题目点拨】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题4、A【解题分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【题目详解】.故选:.【题目点拨】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难
7、度容易.5、B【解题分析】由为定值,可得,则是以3为周期的数列,求出,即求.【题目详解】对任意的,均有为定值,故,是以3为周期的数列,故,.故选:.【题目点拨】本题考查周期数列求和,属于中档题.6、B【解题分析】考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【题目详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又, 当时,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当
8、时,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.【题目点拨】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.7、A【解题分析】先确定集合中的元素,然后由交集定义求解【题目详解】,.故选:A【题目点拨】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键8、D【解题分析】利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再结合表格数据,即得解.【题目详解】利用表格中数据,可得又,解得故选:D【题目点拨】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,
9、数学运算的能力,属于基础题.9、C【解题分析】对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【题目详解】 故选C【题目点拨】识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题10、B【解题分析】由平分,根据三角形内角平分线定理可得,再根据平面向量的加减法运算即得答案.【题目详解】平分,根据三角形内角平分线定理可得,又,.故选:.【题目点拨】本题主要考查平面向量的线性运算,属于基础题.11、D【解题分
10、析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;【题目详解】解:函数,要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位故选:D【题目点拨】本题考查三角函数图象平移的应用问题,属于基础题12、D【解题分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【题目详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【题目点拨】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】利用交集定义直接求解【题目详解】解:集合奇数,偶数
11、,故答案为:【题目点拨】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题14、【解题分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【题目详解】的二项展开式的通项公式:,令,解得.,解得.故答案为:-2.【题目点拨】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数,属于基础题.15、【解题分析】如图所示,将三棱锥补成长方体,球为长方体的外接球,长、宽、高分别为,计算得到,得到答案.【题目详解】如图所示,将三棱锥补成长方体,球为长方体的外接球,长、宽、高分别为,则,所以,所以球的半径,则球的表面积为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象
12、能力,将三棱锥补成长方体是解题的关键.16、2【解题分析】设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【题目详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【题目点拨】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解题分析】(1)建立空间坐标系,通过求向量与向量的夹角,转化为异面直线与直线所成的角的大小;(2)先求出面的一个法向量,再用点到面的距离公式算出即可【题目详解】以为原点,所在直线分别为轴建系,设所以, ,所以异面直线与直线所成的角的余弦值为 ,异面直线与直线所成的角的大小为(2)因
13、为, ,设是面的一个法向量,所以有 即 ,令 , ,故,又,所以点到平面的距离为.【题目点拨】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离,意在考查学生的数学建模以及数学运算能力18、(1)见解析,0(2)【解题分析】(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可;(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【题目详解】解:(1)的取值可能为,1,3,又因为,故,所以的分布列为:13所以(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题, 此时的概率为(或).【题目点拨】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.19、(1)见解析;(2)【解题分析】(1)由折叠过程知与平面垂直,得,再取中点,可证与平面垂直,得,从而可得线面垂直,再得线线垂直;(2)由已知得为中点,以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,由已知求出线段长,得出各点坐标,用平面的法向量计算二面角的余弦【题目详解】(1)易知与平面垂直,连接,取