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1、河南省辉县市2024届高三1月尖子生联赛数学试题考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,若,则( )ABCD2已知三棱柱( )ABCD3设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为( )AB3C1D4已知正项等比数列的前项和为,则的最小值
2、为( )ABCD5已知曲线且过定点,若且,则的最小值为( ).AB9C5D6设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为( )ABCD17复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知函数的图像向右平移个单位长度后,得到的图像关于轴对称,当取得最小值时,函数的解析式为( )ABCD9函数的定义域为()A,3)(3,+) B(-,3)(3,+)C,+) D(3,+)10若实数、满足,则的最小值是( )ABCD11已知集合,则的子集共有( )A个B个C个D个12在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位
3、:).,那么( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若变量,满足约束条件,则的最大值为_14的展开式中的常数项为_15已知集合,则_.16点P是ABC所在平面内一点且在ABC内任取一点,则此点取自PBC内的概率是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是(1)求的值:(2)若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值18(12分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)的图象与两坐标轴的交点分别为,若三角形的面积大于,求参数
4、的取值范围.19(12分)选修4-5:不等式选讲设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.20(12分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足,求.21(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某
5、一时刻亮灯的数目.求的数学期望和方差;若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;若,则,.22(10分)已知,.(1)求函数的单调递增区间;(2)的三个内角、所对边分别为、,若且,求面积的取值范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】由,得,代入集合B即可得.【题目详解】,即:,故选:A【题目点拨】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题
6、.2C【解题分析】因为直三棱柱中,AB3,AC4,AA112,ABAC,所以BC5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D,则OD底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R13,即R3D【解题分析】整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【题目详解】由题,因为纯虚数,所以,则,故选:D【题目点拨】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.4D【解题分析】由,可求出等比数列的通项公式,进而可知当时,;当时,从而可知的最小值为,求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为,则,由题意得,得,解得,得.当时,;当时
7、,则的最小值为.故选:D.【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.5A【解题分析】根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.【题目详解】定点为,,当且仅当时等号成立,即时取得最小值.故选:A【题目点拨】本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.6C【解题分析】试题分析:设,由题意,显然时不符合题意,故,则,可得:,当且仅当时取等号,故选C考点:1抛物线的简单几何性质;2均值不等式【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程,均
8、值不等式的灵活运用,属于中档题解题时一定要注意分析条件,根据条件,利用向量的运算可知,写出直线的斜率,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题7D【解题分析】由复数除法运算求出,再写出其共轭复数,得共轭复数对应点的坐标得结论【题目详解】,对应点为,在第四象限故选:D.【题目点拨】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念,考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键8A【解题分析】先求出平移后的函数解析式,结合图像的对称性和得到A和.【题目详解】因为关于轴对称,所以,所以,的最小值是.,则,所以.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和
9、平移量之间的关系.9A【解题分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【题目详解】因为函数,解得且;函数的定义域为, 故选A【题目点拨】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出.10D【解题分析】根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【题目详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶
10、点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【题目点拨】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题11B【解题分析】根据集合中的元素,可得集合,然后根据交集的概念,可得,最后根据子集的概念,利用计算,可得结果.【题目详解】由题可知:,当时,当时,当时,当时,所以集合则所以的子集共有故选:B【题目点拨】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算,当集合中有元素时,集合子集的个数为,真子集个数为,非空子集为,非空真子集为,属基础题.12D【解题分析】由得,分别算出和的值,从而得到的值.【题目详解】,当时,当时,故选:D.【题目点拨】本小题主要考查对数运算,属于基础题.
11、二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解题分析】根据约束条件可以画出可行域,从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解,通过数形结合的方式可确定过时,取最大值,代入可求得结果.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示: 将化为,则最大时,直线在轴截距最大;由直线平移可知,当过时,在轴截距最大,由得:,.故答案为:.【题目点拨】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.14【解题分析】写出展开式的通项公式,考虑当的指数为零时,对应的值即为常数项.【题目详解】的展开式通项公式为: ,令,所以,所以
12、常数项为.故答案为:.【题目点拨】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,难度较易.解答问题的关键是,能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.15【解题分析】利用交集定义直接求解【题目详解】解:集合奇数,偶数,故答案为:【题目点拨】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题16【解题分析】设是中点,根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点,由此求得,结合几何概型求得点取自三角形的概率.【题目详解】设是中点,因为,所以,所以三点共线且点是线段靠近的三等分点,故,所以此点取自内的概率是故答案为:【题目点拨】本小题主要考查三点共线的向量表示,考查几何概型概率计算
13、,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)(2)【解题分析】(1)依题意,任意角的三角函数的定义可知,进而求出在利用余弦的和差公式即可求出.(2)根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值.【题目详解】解:因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是,所以由任意角的三角函数的定义可知,从而(1)于是(2)因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,所以,从而于是因为为锐角,为钝角,所以从而【题目点拨】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.18(1)(2)【解题分析】(1)当时,不等式可化为:,再利用绝对值的意义,分,讨论求解.(2)根据可得,得到函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为,再利用三角形面积公式由求解.【题目详解】(1)当时,不等式可化为:当时,不等式化为,解得:当时,不等式化为,解得:,当时,不等式化为解集为,综上,不等式的解集为.(2)由题得,所以函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为,的面积为,由,得(舍),或,所以,参数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用,还考查分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.19(1);