《湖北省普通高中联考协作体2024届高三年级第一次联考数学试题试卷》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湖北省普通高中联考协作体2024届高三年级第一次联考数学试题试卷(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、湖北省普通高中联考协作体2024届高三年级第一次联考数学试题试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知实数集,集合,集合,则( )ABCD2已知三点A(1,0),B(0, ),C(2,),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()ABCD3已知
2、,为圆上的动点,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是( )ABCD4已知函数,以下结论正确的个数为( )当时,函数的图象的对称中心为;当时,函数在上为单调递减函数;若函数在上不单调,则;当时,在上的最大值为1A1B2C3D45设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是( )ABCD6设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为( )ABCD7已知数列满足,且 ,则数列的通项公式为( )ABCD8设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分
3、条件D既不充分也不必要条件9已知是定义是上的奇函数,满足,当时, ,则函数在区间上的零点个数是( )A3B5C7D910若,则实数的大小关系为( )ABCD11在复平面内,复数对应的点的坐标为( )ABCD12下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知二项式的展开式中的常数项为,则_14若,则_15已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为_.16如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分
4、别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为_百米.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,M、N分别为、的中点.(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.18(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量19(12分)如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,为侧棱上一点,已知.()证明:平面平面;()求二面角的余弦值.20(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.21(12分)已知
5、函数,记的最小值为.()解不等式;()若正实数,满足,求证:.22(10分)已知椭圆,左、右焦点为,点为上任意一点,若的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆的方程;(2)动直线过点与交于两点,在轴上是否存在定点,使成立,说明理由.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】可得集合,求出补集,再求出即可.【题目详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【题目点拨】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.2、B【解题分析】选B.考点:圆心坐标3、A【解题分析】由题意得,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点
6、,的双曲线,根据双曲线的性质即可得解.【题目详解】如图,连接OP,AM,由题意得,点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,.故选:A.【题目点拨】本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.4、C【解题分析】逐一分析选项,根据函数的对称中心判断;利用导数判断函数的单调性;先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;利用导数求函数在给定区间的最值.【题目详解】为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确由题意知因为当时,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确由题意知,当时,此时在上为增函数,不合题意,故令,解得因为在上不单调,所
7、以在上有解,需,解得,正确令,得根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或因为,所以最大值为64,结论错误故选:C【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.5、A【解题分析】设坐标,根据向量坐标运算表示出,从而可利用表示出;由坐标运算表示出,代入整理可得所求的轨迹方程.【题目详解】设,其中, ,即 关于轴对称 故选:【题目点拨】本题考查动点轨迹方程的求解,涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算;关键是利用动点坐标表示出变量,根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.6、B【解题分析】画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根
8、据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【题目详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,所以由图可得取自的概率为.故选:B【题目点拨】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.7、D【解题分析】试题分析:因为,所以,即,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,所以,即,所以数列的通项公式是,故选D考点:数列的通项公式8、B【解题分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论【题目详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,所以向量,共线且方向相反,所以,即充分性成立;反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不
9、成立所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件故选B【题目点拨】判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确9、D【解题分析】根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得 ,利用周期性可得函数在区间上的零点个数【题目详解】是定义是上的奇函数,满足, ,可得,函数的周期为3,当时, ,令,则,解得或1,又函数是定义域为的奇函数,在区间上,有由,取,得 ,得,又函数是周期为3的周期函数,方程=0在区间上的解有 共9个,故选D【题
10、目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题10、A【解题分析】将化成以 为底的对数,即可判断 的大小关系;由对数函数、指数函数的性质,可判断出 与1的大小关系,从而可判断三者的大小关系.【题目详解】依题意,由对数函数的性质可得.又因为,故.故选:A.【题目点拨】本题考查了指数函数的性质,考查了对数函数的性质,考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时,底数相同,则构造对数函数,结合对数的单调性可判断大小;若真数相同,则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;若真数和底数都不相同,则可与中间值如1,0比较大小.11、C【
11、解题分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【题目详解】解:复数i(2+i)2i1对应的点的坐标为(1,2),故选:C【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题12、D【解题分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.【题目详解】设函数解析式为,根据图像:,故,即,取,得到,函数向右平移个单位得到.故选:.【题目点拨】本题考查了根据函数图像求函数解析式,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解题分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可
12、求得常数项,再根据常数项等于求得实数的值【题目详解】二项式的展开式中的通项公式为,令,求得,可得常数项为,故答案为:【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题14、【解题分析】因为,由二倍角公式得到 ,故得到 故答案为15、【解题分析】当时,转化条件得有唯一实数根,令,通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当时,故不是函数的零点;当时,即,令,当时,;当时,的单调减区间为,增区间为,又 ,可作出的草图,如图:则要使有唯一实数根,则.故答案为:.【题目点拨】本题考查了导数的应用,考查了转化化归思想和数形结合思想,属于难题.16、【解
13、题分析】建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【题目详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,则,则,当时,则单调递减,当时,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【题目点拨】本题考查导数的实际应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解题分析】(1)取 中点,连接,证明平面,由线面垂直的性质可得;(2)由,即可求得三棱锥的体积【题目详解】解:(1)证明:取中点D,连接,.因为,所以且,因为,平面,平面,所以平面.又平面,所以;(2)解:因为平面,平面,所以平面平面,过N作于E,则平面,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又因为平面,所以,由于,所以所以,所以.【题目点拨】本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质,属于中档题18、矩阵属于特征值的一个特征向量为,矩阵属于特征值的一个特征向量为【解题分析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程组,即可求得相应的特征向量.【题目详解】由题意,矩阵的特征多项式为,令,解得, 将代入二元一次方程组,解得,所以矩阵属于特征值的一个特征向量为;同理,矩阵属于特征值的一个特征向量为v【题目点拨】本题主