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1、河南省焦作市普通高中2024届百校联盟高三下学期第一次模拟考试数学试题注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ）AB5
2、CD92已知等差数列的公差为，前项和为，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）.A6B5C4D33已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）ABCD4已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）A-5B2C7D115已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）ABCD6在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）ABCD7将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器
3、，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）A6B8C10D128偶函数关于点对称，当时，求（ ）ABCD9某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A8种B12种C16种D20种10设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）A1BCD11如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ）A点M在圆C上B点M
4、在圆C外C点M在圆C内D上述三种情况都有可能12点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设，满足约束条件，则的最大值为_.14已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为_15已知随机变量服从正态分布，若，则_.16的二项展开式中，含项的系数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.18（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点
5、为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.19（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.21（12分）已知（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集22（10
6、分）在中，内角的边长分别为，且（1）若，求的值；（2）若，且的面积，求和的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【题目详解】解：的值域为,当且仅当时取等号,的最小值为.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.2C【解题分析】若对任意的恒成立，则为的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值时的n即可.【题目详解】由已知，又三角形有一个内角为，所以，解得或（舍），故，当时，取得最大
7、值，所以.故选：C.【题目点拨】本题考查等差数列前n项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.3D【解题分析】由题知，又，代入计算可得.【题目详解】由题知，又.故选：D【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.4A【解题分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【题目详解】由约束条件，画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，最小的时候为过点的时候，解得所以，此时故选A项【题目点拨】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.5B【解题分析】由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.
8、【题目详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，所以，的渐近线方程为.故选B【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.6C【解题分析】根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【题目详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得 所以相交的概率,故选C.【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.7D【解题分析】推导出，且，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值【题目详解】解：如图（4），为该四棱锥的正
9、视图，由图（3）可知，且，由为等腰直角三角形可知，设中点为，则平面，解得.故选：D【题目点拨】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.8D【解题分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.【题目详解】由于偶函数的图象关于点对称，则，则，所以，函数是以为周期的周期函数，由于当时，则.故选：D.【题目点拨】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9C【解题分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【题目详解】若一名学生只选物理和历史中的
10、一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【题目点拨】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.10A【解题分析】设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解.【题目详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，设，因为，即线段的中点，所以，所以直线的斜率，当且仅当，即时等号成立，所以直线的斜率的最大值为1.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11B【解题分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利
11、用与圆心的距离判断即可.【题目详解】直线与圆相交，圆心到直线的距离，即也就是点到圆的圆心的距离大于半径即点与圆的位置关系是点在圆外故选：【题目点拨】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题12B【解题分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论【题目详解】不等式组作出可行域如图：，的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：，则的取值范围是：，故选：【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1329【解题分析】由约束条件作
12、出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【题目详解】由约束条件作出可行域如图：联立，解得，目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆，由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大，最大值为.所以本题答案为29.【题目点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14【解题分析】根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与
13、圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.【题目详解】根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，故，解得 从而离心率.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.150.4【解题分析】因为随机变量服从正态分布,利用正态曲线的对称性，即得解.【题目详解】因为随机变量服从正态分布所以正态曲线关于对称，所.【题目点拨】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.16【解题分析】写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.【
14、题目详解】，由，可得.含项的系数为.故答案为：【题目点拨】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）.【解题分析】（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.【题目详解】（1）设，所以函数在上单调递增，又因为和，则，所以得解得，即， 故的取值范围为；（2） 由于恒成立，恒成立，设， 则， 令， 则，所以在区间上单调递增， 所以，根据条件，只要 ，所以.【题目点拨】本题考查利用定义法求函数的单
