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1、江苏省常州市三河口高级中学2024届高三3月摸底考试数学试题试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在( ).A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的
2、布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则ABCD3已知双曲线()的渐近线方程为,则( )ABCD4如图,在正四棱柱中,分别为的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则( )A直线与直线异面,且B直线与直线共面,且C直线与直线异面,且D直线与直线共面,且5已知,则,不可能满足的关系是()ABCD6若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为( )ABCD7在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则( )ABCD8已知数列是公比为的等比数列
3、,且,若数列是递增数列,则的取值范围为( )ABCD9若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为( )AB2CD10复数为纯虚数,则( )AiB2iC2iDi11设集合(为实数集),则( )ABCD12在中,角的对边分别为,若则角的大小为()ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知双曲线(a0,b0)的两个焦点为、,点P是第一象限内双曲线上的点,且,tanPF2F12,则双曲线的离心率为_14定义在上的偶函数满足,且,当时,.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则_,_.15在正方体中,分别为棱的中点,则直线
4、与直线所成角的正切值为_.16一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值18(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;(2)设曲线与曲线交于,两点,求.19(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解
5、集包含,求的取值范围.20(12分)如图,底面ABCD是边长为2的菱形,平面ABCD,BE与平面ABCD所成的角为.(1)求证:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.21(12分)已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,点是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上点与点关于原点对称,过点作垂直于轴,垂足为,连接并延长交于另一点,交轴于点.()求面积最大值;()证明:直线与斜率之积为定值.22(10分)已知函数.(1)若在上为单调函数,求实数a的取值范围:(2)若,记的两个极值点为,记的最大值与最小值分别为M,m,求的值.参考答案一、选择题:本题共1
6、2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1D【解题分析】设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【题目详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【题目点拨】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2B【解题分析】由题意知,由,知,由此能求出【题目详解】由题意知,解得,故选:B【题目点拨】本题考查离散型随机变量的方差的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意二项分布的灵活运用3A【解题分析】根据双曲线方程(),确定焦点位置,再根据渐近线方程得到求解.【题目详解】
7、因为双曲线(),所以,又因为渐近线方程为,所以,所以.故选:A.【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.4B【解题分析】连接,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性质可知,直线与直线共面.,同理易得,由异面直线所成的角的定义可知,异面直线与所成角为,然后再利用余弦定理求解.【题目详解】如图所示:连接,由正方体的特征得,所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得,所以异面直线与所成角为.设,则,则,由余弦定理,得.故选:B【题目点拨】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质,还考查了推理论证和运算求解的能力,属于中档题.5C【解题分析】根据即可得出,
8、根据,即可判断出结果【题目详解】;,;,故正确;,故C错误;,故D正确故C【题目点拨】本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:和不等式的应用,属于中档题6D【解题分析】求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【题目详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐
9、标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.7D【解题分析】由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【题目详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以. 故选:D【题目点拨】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何
10、性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养8D【解题分析】先根据已知条件求解出的通项公式,然后根据的单调性以及得到满足的不等关系,由此求解出的取值范围.【题目详解】由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.故选:D.【题目点拨】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性,可根据之间的大小关系分析问题.9D【解题分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值【题目详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,即故选D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础
11、题10B【解题分析】复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【题目详解】为纯虚数,解得. .故选:.【题目点拨】本题考查复数的分类,属于基础题.11A【解题分析】根据集合交集与补集运算,即可求得.【题目详解】集合,所以所以故选:A【题目点拨】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.12A【解题分析】由正弦定理化简已知等式可得,结合,可得,结合范围,可得,可得,即可得解的值【题目详解】解:,由正弦定理可得:,故选A【题目点拨】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解题分析】根据正弦定理
12、得,根据余弦定理得2PF1PF2cosF1PF23,联立方程得到,计算得到答案.【题目详解】PF1F2中,sinPF1F2,sinPF1F2,由正弦定理得,又,tanPF2F12,tanF1PF2tan(PF2F1+PF1F2),可得cosF1PF2,PF1F2中用余弦定理,得2PF1PF2cosF1PF23,联解,得,可得,双曲线的,结合,得离心率.故答案为:.【题目点拨】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.142 4 【解题分析】根据函数为偶函数且,所以的周期为,的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标,在平面直角坐标系中画出函数图象,根据函数的对称性可得所有实数根的
13、和为,从而可得参数的值,最后求出函数的解析式,代入求值即可.【题目详解】解:因为为偶函数且,所以的周期为.因为时,所以可作出在区间上的图象,而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标,结合函数和函数在区间上的简图,可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知,此六个交点的横坐标之和为,所以,故.因为,所以.故.故答案为:;【题目点拨】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用,函数方程思想,数形结合思想,属于难题.15【解题分析】由中位线定理和正方体性质得,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得【题目详解】如图,连接,分别为棱的中点,又正方体中,即是平行四边形,(或其补角)就是直线与直线所成角,是等边三角形,60,其正切值为故答案为:【题目点拨】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角161【解题分析】根据均值的定义计算【题目详解】由题意,故答案为:1【题目点拨】本题考查均值的概念,属于基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1);(2)【解题分析】(1)根据椭圆的离心率为,得到,根据直线与圆的位置关系,得到原心到直线的距离等于半径,得到,从而求得,进而求得椭圆的方程;(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论,写出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,向量的数量积,结合已知条件