《2024届云南省育能高级中学高三摸底(4月)调研测试数学试题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2024届云南省育能高级中学高三摸底(4月)调研测试数学试题(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2024届云南省育能高级中学高三摸底(4月)调研测试数学试题注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知为抛物线的准线,抛物线上的点到的距离为,点的坐标为,则的最小值是( )AB4C2D2集合的子集的个数是( )A2B3C4D83已知向量与向量平行,且,则
2、( )ABCD4已知定义在上的函数满足,且当时,.设在上的最大值为(),且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD5如图,内接于圆,是圆的直径,则三棱锥体积的最大值为( )ABCD6双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为( )AB3CD27在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是( )A0.2B0.5C0.4D0.88已知,函数,若函数
3、恰有三个零点,则( )ABCD9一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为( )ABCD10已知f(x)=是定义在R上的奇函数,则不等式f(x-3)f(9-x2)的解集为( )A(-2,6)B(-6,2)C(-4,3)D(-3,4)11已知等边ABC内接于圆:x2+ y2=1,且P是圆上一点,则的最大值是( )AB1CD212a为正实数,i为虚数单位,则a=( )A2BCD1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于_.14已
4、知,若,则a的取值范围是_15函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为_.16设向量,且,则_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,的斜率分别为,求的值.18(12分)已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前n项和.19(12分)已知函数,它的导函数为(1)当时,求的零点;(2)当时,证明:20(12分)已知函数.(1)求
5、函数的单调区间;(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.21(12分)如图在四边形中,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.22(10分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,M、N分别为、的中点.(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解题分析】设抛物线焦点为,由题意利用抛物线的定义可得,当共线时,取得最小值,由此求得答案.【题目详解】解:抛物线焦点,准线,过作交于点,连接由抛物线定义,当且仅当三点共线时,取“”号,的最小值为.故选:B.【题目点
6、拨】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.2D【解题分析】先确定集合中元素的个数,再得子集个数【题目详解】由题意,有三个元素,其子集有8个故选:D【题目点拨】本题考查子集的个数问题,含有个元素的集合其子集有个,其中真子集有个3B【解题分析】设,根据题意得出关于、的方程组,解出这两个未知数的值,即可得出向量的坐标.【题目详解】设,且,由得,即,由,所以,解得,因此,.故选:B.【题目点拨】本题考查向量坐标的求解,涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中等题.4C【解题分析】由已知先求出,即,进一步可得,再将所求问题
7、转化为对于任意正整数恒成立,设,只需找到数列的最大值即可.【题目详解】当时,则,所以,显然当时,故,若对于任意正整数不等式恒成立,即对于任意正整数恒成立,即对于任意正整数恒成立,设,令,解得,令,解得,考虑到,故有当时,单调递增,当时,有单调递减,故数列的最大值为,所以.故选:C.【题目点拨】本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识,是一道较为综合的数列题.5B【解题分析】根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值【题目详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,设,则,
8、所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B【题目点拨】本题考查求棱锥体积的最大值解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值6A【解题分析】设,直线的方程为,联立方程得到,根据向量关系化简到,得到离心率.【题目详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【题目点拨】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.7B【解题分析】利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【题目详解】从五行中任取两个,
9、所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共种,所以所求的概率为.故选:B【题目点拨】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.8C【解题分析】当时,最多一个零点;当时,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得【题目详解】当时,得;最多一个零点;当时,当,即时,在,上递增,最多一个零点不合题意;当,即时,令得,函数递增,令得,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如图:且,解得,故选【题目点拨】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于
10、方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.9B【解题分析】根据正四棱锥底边边长为,高为,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.【题目详解】如图所示:因为正四棱锥底边边长为,高为,所以 , 到 的距离为,同理到 的距离为1,所以为球的球心,所以球的半径为:1,所以球的表面积为.故选:B【题目点拨】本题主要考查组合体的表面积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.10C【解题分析】由奇函数的性质可得,进而可知在R上为增函数,转化条件得,解一元二次不等式即可得解.【题目详解】因为是定义在R上的奇函数,所以,即,解得,即,易知在R上为增
11、函数.又,所以,解得.故选:C.【题目点拨】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.11D【解题分析】如图所示建立直角坐标系,设,则,计算得到答案.【题目详解】如图所示建立直角坐标系,则,设,则.当,即时等号成立.故选:.【题目点拨】本题考查了向量的计算,建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.12B【解题分析】,选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。132【解题分析】将已知数列分组为(1),共个组.设在第组,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.14【解题分析】函数等价为,由二次函数的单调性可得在R上递增,即为,可得a的不等式,解不等
12、式即可得到所求范围【题目详解】,等价为,且时,递增,时,递增,且,在处函数连续,可得在R上递增,即为,可得,解得,即a的取值范围是故答案为:【题目点拨】本题考查分段函数的单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题15【解题分析】根据图象利用,先求出的值,结合求出,然后利用周期公式进行求解即可【题目详解】解:由,得,则,即,则函数的最小正周期,故答案为:8【题目点拨】本题主要考查三角函数周期的求解,结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键16【解题分析】根据向量的数量积的计算,以及向量的平方,简单计算,可得结果.【题目详解】由题可知:且由所以故答案为:【题目点拨】本题考查向
13、量的坐标计算,主要考查计算,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)(2)【解题分析】(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【题目详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,所以的面积.(2)由题知,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.18(1);(2)【解题分析】(1)设数列的公差为d,由可得,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.(2) 由(1)得,,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.【题目详解】(1)设数列的公差为d,数列的公比为q,由可得,整理得,即,